Сегодня рассмотрим задачи B8 c тригонометрией в ее классическом понимании, где изучаются обычные прямоугольные треугольники . Поэтому никаких тригонометрических окружностей и отрицательных углов сегодня не будет — только обычные синусы и косинусы.
Такие задачи составляют примерно 30% от общего числа. Помните: если в задаче B8 хоть раз упоминается угол π , она решается совсем другими способами. Мы обязательно рассмотрим их в ближайшее время. А сейчас — главное определение урока:
Треугольник — фигура на плоскости, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. Фактически, это замкнутая ломаная из трех звеньев. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами. Важно заметить, что вершины не должны лежать на одной прямой, иначе треугольник вырождается в отрезок.
Довольно часто треугольником называют не только саму ломаную, но и часть плоскости, которая этой ломаной ограничена. Таким образом, можно определить площадь треугольника.
Два треугольника называются равными, если один можно получить из другого путем одного или нескольких движений плоскости: сдвига, поворота или симметрии. Кроме того, существует понятие подобных треугольников: их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны...
Это треугольник ABC . Более того, это прямоугольный треугольник: в нем ∠C = 90°. Именно такие чаще всего и встречаются в задаче B8.
Все, что надо знать для решения задачи B8 — это несколько простых фактов из геометрии и тригонометрии, а также общая схема решения, в которой эти факты используются. Затем останется просто «набить руку».
Начнем с фактов. Они разбиты на три группы:
Нельзя сказать, что какая-то из этих групп важнее, сложнее или проще. Но информация, которая в них содержится, позволяет решить любую задачу B8 . Поэтому знать надо все. Итак, поехали!
Рассмотрим треугольник ABC , где ∠C — прямой. Для начала — определения:
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Один угол или отрезок может входить в разные прямоугольные треугольники. Более того, очень часто один и тот же отрезок является катетом в одном треугольнике и гипотенузой — в другом. Но об этом — дальше, а пока будем работать с обычным углом А . Тогда:
Основные следствия из определения:
Хотите — верьте, хотите — нет, но этих фактов достаточно, чтобы решить примерно треть всех тригонометрических задач B8.
Первое и самое главное тождество — теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к треугольнику ABC , рассмотренному выше, эту теорему можно записать так:
AC 2 + BC 2 = AB 2
И сразу — небольшое замечание, которое убережет читателя от множества ошибок. Когда решаете задачу, всегда (слышите, всегда!) записывайте теорему Пифагора именно в таком виде. Не пытайтесь сразу выражать катет, как это обычно требуется. Возможно, вы сэкономите пару строчек вычислений, но именно на этой «экономии» было потеряно больше баллов, чем где-либо еще в геометрии.
Второе тождество — из тригонометрии. Выглядит следующим образом:
sin 2 A + cos 2 A = 1
Оно так и называется: основное тригонометрическое тождество. С его помощью можно через синус выразить косинус и наоборот.
То, что написано ниже, относится только к равнобедренным треугольникам. Если в задаче таковой не фигурирует, то для решения достаточно фактов из первых двух групп.
Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC , где AC = BC . Проведем к основанию высоту CH . Получим следующие факты:
Теперь, когда все факты рассмотрены, перейдем непосредственно к методам решения.
Геометрия отличается от алгебры тем, что в ней нет простых и универсальных алгоритмов. Каждую задачу приходится решать с нуля — и в этом ее сложность. Тем не менее, общие рекомендации дать все-таки можно.
Для начала, следует обозначить неизвестную сторону (если таковая имеется) за X . Затем применяем схему решения, которая состоит из трех пунктов:
А теперь попробуем с помощью полученных знаний решить наиболее распространенные задачи B8. Не удивляйтесь, что с таким арсеналом текст решения окажется не намного длиннее, чем исходное условие. И это радует:)
Задача. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите cos A .
По определению (группа 1), cos A = AC : AB . Гипотенуза AB нам известна, а вот катет AC придется искать. Обозначим его AC = x .
Переходим к группе 2. Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора:
AC
2 + BC
2 = AB
2 ;
x
2 + 3 2 = 5 2 ;
x
2 = 25 − 9 = 16;
x
= 4.
Теперь можно найти косинус:
cos A = AC : AB = 4: 5 = 0,8.
Задача. В треугольнике ABC угол B равен 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH — высота. Найдите AH .
Обозначим искомую сторону AH = x и рассмотрим треугольник ABH . Он прямоугольный, причем ∠AHB = 90° по условию. Поэтому cos A = AH : AB = x : AB = 4/5. Это пропорция, ее можно переписать так: 5 · x = 4 · AB . Очевидно, мы найдем x , если будем знать AB .
Рассмотрим треугольник ABC . Он также прямоугольный, причем cos A = AB : AC . Ни AB , ни AC нам не известны, поэтому переходим ко второй группе фактов. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin 2 A
+ cos 2 A
= 1;
sin 2 A
= 1 − cos 2 A
= 1 − (4/5) 2 = 1 − 16/25 = 9/25.
Поскольку тригонометрические функции острого угла положительны, получаем sin A = 3/5. С другой стороны, sin A = BC : AC = 3: AC . Получаем пропорцию:
3: AC
= 3: 5;
3 · AC
= 3 · 5;
AC
= 5.
Итак, AC = 5. Тогда AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. Наконец, находим AH = x :
5 · x
= 4 · 4;
x
= 16/5 = 3,2.
Задача. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 5, cos C = 0,8. Найдите высоту CH .
Обозначим искомую высоту CH = x . Перед нами равнобедренный треугольник ABC , в котором AB = BC . Следовательно, из третьей группы фактов имеем:
∠A = ∠C ⇒ cos A = cos C = 0,8
Рассмотрим треугольник ACH . Он прямоугольный (∠H = 90°), причем AC = 5 и cos A = 0,8. По определению, cos A = AH : AC = AH : 5. Получаем пропорцию:
AH
: 5 = 8: 10;
10 · AH
= 5 · 8;
AH
= 40: 10 = 4.
Осталось воспользоваться второй группой фактов, а именно теоремой Пифагора для треугольника ACH :
AH
2 + CH
2 = AC
2 ;
4 2 + x
2 = 5 2 ;
x
2 = 25 − 16 = 9;
x
= 3.
Задача. В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Найдите синус угла CAD .
Поскольку нам известна гипотенуза AC = 40 и катет AB = 32, можно найти косинус угла A : cos A = AB : AC = 32: 40 = 0,8. Это был факт из первой группы.
Зная косинус, можно найти синус через основное тригонометрическое тождество (факт из второй группы):
sin 2 A
+ cos 2 A
= 1;
sin 2 A
= 1 − cos 2 A
= 1 − 0,8 2 = 0,36;
sin A
= 0,6.
При нахождении синуса вновь был использован тот факт, что тригонометрические функции острого угла положительны. Осталось заметить, что углы BAC и CAD смежные. Из первой группы фактов имеем:
∠BAC
+ ∠CAD
= 180°;
sin CAD
= sin BAC
= sin A
= 0,6.
Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH — высота. Найдите tg A .
Треугольник ABC — равнобедренный, CH — высота, поэтому заметим, что AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. Это факт из третьей группы.
Теперь рассмотрим треугольник ACH : в нем ∠AHC = 90°. Можно выразить тангенс: tg A = CH : AH . Но AH = 4, поэтому остается найти сторону CH , которую обозначим CH = x . По теореме Пифагора (факт из группы 2) имеем:
AH
2 + CH
2 = AC
2 ;
4 2 + x
2 = 5 2 ;
x
2 = 25 − 16 = 9;
x
= 3.
Теперь все готово, чтобы найти тангенс: tg A = CH : AH = 3: 4 = 0,75.
Задача. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту AH .
Обозначим искомую высоту AH = x . Снова треугольник ABC — равнобедренный, поэтому заметим, что ∠A = ∠B , следовательно, cos B = cos A = 3/5. Это факт из третьей группы.
Рассмотрим треугольник ABH . По условию, он прямоугольный (∠AHB = 90°), причем известна гипотенуза AB = 6 и cos B = 3/5. Но cos B = BH : AB = BH : 6 = 3/5. Получили пропорцию:
BH
: 6 = 3: 5;
5 · BH
= 6 · 3;
BH
= 18/5 = 3,6.
Теперь найдем AH = x по теореме Пифагора для треугольника ABH :
AH
2 + BH
2 = AB
2 ;
x
2 + 3,6 2 = 6 2 ;
x
2 = 36 − 12,96 = 23,04;
x
= 4,8.
Бывают нестандартные задачи, где рассмотренные выше факты и схемы бесполезны. Увы, в таком случае нужен действительно индивидуальный подход. Подобные задачи любят давать на всевозможных «пробных» и «демонстрационных» экзаменах.
Ниже приведены две реальные задачи, которые предлагались на пробном ЕГЭ в Москве. Справились с ними единицы, что свидетельствует о высокой сложности этих задач.
Задача. В прямоугольном треугольнике ABC из угла C = 90° провели медиану и высоту. Известно, что ∠A = 23°. Найдите ∠MCH .
Заметим, что медиана CM проведена к гипотенузе AB , поэтому M — центр описанной окружности, т.е. AM = BM = CM = R , где R — радиус описанной окружности. Следовательно, треугольник ACM — равнобедренный, и ∠ACM = ∠CAM = 23°.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBH . По условию, оба треугольника прямоугольные. Кроме того, ∠B — общий. Следовательно, треугольники ABC и CBH подобны по двум углам.
В подобных треугольника соответствующие элементы пропорциональны. В частности:
BCH = BAC = 23°
Наконец, рассмотрим ∠C . Он прямой, и, кроме того, ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH . В этом равенстве ∠MCH — искомый, а ∠ACM и ∠BCH известны и равны 23°. Имеем:
90° = 23° + MCH
+ 23°;
MCH
= 90° − 23° − 23° = 44°.
Задача. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника: AB = x , BC = y . Выразим периметр:
P ABCD
= 2 · (AB
+ BC
) = 2 · (x
+ y
) = 34;
x
+ y
= 17.
Аналогично выразим площадь: S ABCD = AB · BC = x · y = 60.
Теперь рассмотрим треугольник ABC . Он прямоугольный, поэтому запишем теорему Пифагора:
AB
2 + BC
2 = AC
2 ;
AC
2 = x
2 + y
2 .
Заметим, что из формулы квадрата разности следует равенство:
x 2 + y 2 = (x + y ) 2 − 2 · x · y = 17 2 − 2 · 60 = 289 − 120 = 169
Итак, AC 2 = 169, откуда AC = 13.
Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщевого" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.
В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.
Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.
Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.
Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.
На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a , b , c . Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.
Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.
И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.
Первый вариант . Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.
Второй вариант . Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.
Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.
Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.
Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).
Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.
Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.
Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).
Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.
Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))
Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.
Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.
Появление математики на нашей планете.
Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.
Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие "бесконечность" действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:
Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:
Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда "дуракам закон не писан". Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.
Что же такое "бесконечная гостиница"? Бесконечная гостиница - это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре "для посетителей" заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами "для гостей". Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у "бесконечной гостиницы" бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда - всегда только один, гостиница - она одна, коридор - только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно "впихнуть невпихуемое".
Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует - одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.
Вариант первый. "Пусть нам дано" одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:
Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.
Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю - РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:
Нижние индексы "один" и "два" указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.
Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.
Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения - это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).
pozg.ru
Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:
Читаем: "... богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы."
Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:
Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.
За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду - имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.
Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.
Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку "люди" Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения "половой признак" и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество "люди" превратилось в множество "люди с половыми признаками". После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой - мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет - умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.
После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат - "множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин". Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.
Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.
Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как "правильно" применять их "знания". Этим "знаниям" они обучают нас.
В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .
В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере. Отбираем "красное твердое в пупырышку" - это наше "целое". При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть "целого" и формируем множество "с бантиком". Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.
А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем "твердое в пупырышку с бантиком" и объединим эти "целые" по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество "красное". Теперь вопрос на засыпку: полученные множества "с бантиком" и "красное" - это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.
Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество "красное твердое в пупырышку с бантиком". Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.
Буква "а" с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется "целое" на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат - элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут "интуитивно" придти к такому же результату, аргументируя его "очевидностью", ведь единицы измерения не входят в их "научный" арсенал.
При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.
«Свойства прямоугольного треугольника» - Доказательство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Первое свойство. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором? А-прямой, ? В=30° и значит, ? С=60°. Второе свойство. Первое свойство Второе свойство Третье свойство Задачи. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС.
«Тригонометрия» - Основные формулы плоской тригонометрии. Котангенс - отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу). Тригонометрия. Для острых углов новые определения совпадают с прежними. Площадь треугольника: Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах.
«Задачи на прямоугольный треугольник» - Доказательством признаков равенства треугольников занимались ещё пифагорейцы. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Биография Фалеса. Неподалёку от ворот стоял величественный храм Аполлона с мраморными жертвенниками и статуями. Милет – родина Фалеса. В далёкие путешествия отправлялись милетские торговцы-моряки.
«Прямоугольный параллелепипед» - Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Параллелепипед – шестигранник, все грани которого (основания) – параллелограммы. Объём прямоугольного параллелепипеда. Слово встречалось у древнегреческих ученых Евклида и Герона. Длина Ширина Высота. Параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом.
«Тригонометрия 10 класс» - Ответы. 1 вариант (2 вариант) Вычислите: Работа с тестами. Устная работа: Математический диктант. Историческая справка. Работа у доски. «Преобразование тригонометрических выражений». Чтобы легче всем жилось, Чтоб решалось, чтоб моглось. Доказательство тождеств.
«Объем прямоугольного параллелепипеда» - Какие ребра равны ребру АЕ? Отрезок. Памятка для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Равны. Квадраты. 5. У куба все ребра равны. Решение задач. Математика 5 класс. Кубом. Длины, ширины и высоты. (Плоская, объемная). Какие вершины принадлежат основанию? 4. У параллелепипеда 8 ребер.
Треугольник обладает замечательным свойством — это жесткая фигура, т.е. при постоянной длине сторон нельзя изменить форму треугольника. Это свойство треугольника делает его незаменимым в технике и строительстве. Элементы конструкции в форме треугольника сохраняют свою форму, в отличие, например, от элементов в форме квадрата или параллелограмма. Кроме того, треугольник является простейшим многоугольником и любой многоугольник можно представить в виде набора треугольников.
Стороны треугольника связаны следующими неравенствами
a ≤ b + c
b ≤ a + c
c ≤ a + b
В случае выполнения равенства в одном из них треугольник называется вырожденным. Далее везде предполагается невырожденный случай.
Треугольник можно однозначно (с точностью до сдвига и поворота) определить по следующим тройкам основных элементов:
a, b, c — по трем сторонам;
a, b, C — по двум сторонам и углу между ними;
a, B, C — по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Сумма углов любого треугольника постоянна
A + B + C = 180°
Угол B = 90° (прямой).
Функция синус: sin(A) = a/b .
Функция косинус: cos(A) = c/b .
Функция тангенс: tg(A) = a/c .
Функция котангенс: ctg(A) = c/a .
См. также:
На станице Теорема Пифагора приведено несколько простых доказательств теоремы.
Изучение тригонометрии начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Мы получили основное тригонометрическое тождество .
Аналогично,
Для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
