1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона.
2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Кровь.
3. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса.
4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление.
5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения.
6. Методы определения вязкости жидкостей.
7. Влияние вязкости на некоторые медицинские процедуры. Ламинарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия.
8. Основные понятия и формулы.
9. Задачи.
Гидродинамика - раздел физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с окружающими телами.
8.1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона
В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Течение вязкой жидкости между пластинами
Поместим слой жидкости между двумя параллельными твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью v 1 , то c такой же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой, заставляя его двигаться со скоростью v 2 , причем v 2 < v 1 . Каждый слой (выделим n слоев) передает движение нижележащему слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший» к «нижней» пластине, остается неподвижным.
Слои взаимодействуют друг с другом: n-й слой ускоряет (п+1)-й слой, но замедляет (п-1)-й слой. Таким образом, наблюдается изменение скорости течения жидкости в направлении, перпендикулярном поверхности слоя (ось х). Такое изменение характеризуют производной dv/dx, которую называют градиентом скорости.
Силы, действующие между слоями и направленные по касательной к поверхности слоев, называются силами внутреннего трения или вязкости. Эти силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S и градиенту скорости. Для многих жидкостей силы внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона:
Коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью (размерность η в СИ: Пас).
8.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости.
Кровь
Ньютоновская жидкость
Жидкость, которая подчиняется уравнению Ньютона (8.1), называют ньютоновской. Коэффициент внутреннего трения ньютоновской жидкости зависит от ее строения, температуры и давления, но не зависит от градиента скорости.
Ньютоновская жидкость - жидкость, вязкость которой не зависит от градиента скорости.
Свойствами ньютоновской жидкости обладают большинство жидкостей (вода, растворы, низкомолекулярные органические жидкости) и все газы.
Вязкость определяется с помощью специальных приборов - вискозиметров. Значения коэффициента вязкости η для некоторых жидкостей представлены в таблице.
Значение
вязкости крови, представленное в таблице, относится к здоровому
человеку в спокойном состоянии. При тяжелой физической работе вязкость
крови увеличивается. На величину вязкости крови влияют и некоторые
заболевания. Так, при сахарном диабете вязкость крови увеличивается до
23?10 -3 Пас, а при туберкулезе уменьшается до 1*10 -3 Пас. Вязкость сказывается на таком клиническом параметре, как скорость оседания эритроцитов (СОЭ).
Неньютоновская жидкость
Неньютоновская жидкость - жидкость, вязкость которой зависит от градиента скорости.
Свойствами неньютоновской жидкости обладают структурированные дисперсные системы (суспензии, эмульсии), растворы и расплавы некоторых полимеров, многие органические жидкости и др.
При прочих равных условиях вязкость таких жидкостей значительно больше, чем у ньютоновских жидкостей. Это связано с тем, что благодаря сцеплению молекул или частиц в неньютоновской жидкости образуются пространственные структуры, на разрушение которых затрачивается дополнительная энергия.
Кровь
Цельная кровь (суспензия эритроцитов в белковом растворе - плазме) является неньютоновской жидкостью вследствие агрегации эритроцитов.
Эритроцит в норме имеет форму двояковогнутого диска диаметром около 8 мкм. Он может существенно менять свою форму, например при различной осмолярности среды (рис. 8.2).
В неподвижной крови эритроциты агрегируют, образуя так называемые «монетные столбики», состоящие из 6-8 эритроцитов. Электронно-микроскопическое исследование тончайших срезов монетных столбиков выявило параллельность поверхностей прилежащих эритроцитов и постоянное межэритроцитарное расстояние при агрегации (рис. 8.3).
На рисунке 8.4 показана (зарисовка) агрегация цельной крови во влажных мазках, которая представляет собой большие конгломераты, состоящие из многих монетных столбиков. При перемешивании крови агрегаты разрушаются, а после прекращения перемешивания вновь восстанавливаются.
При протекании крови по капиллярам агрегаты эритроцитов распадаются и вязкость падает.
Вживление специальных прозрачных окошек в кожные складки позволило сфотографировать течение крови в капиллярах. На рисунке 8.5, выполненном по такой фотографии, отчетливо видна деформация кровяных клеток.
Рис. 8.2.
Усредненное поперечное сечение эритроцита при различной осмолярности среды
Рис. 8.3.
Схема электроннограммы агрегата из нормальных эритроцитов
Рис. 8.4.
Агрегация цельной крови
Рис. 8.5.
Деформация эритроцитов в капиллярах
Деформируясь, эритроциты могут продвигаться один за другим в капиллярах диаметром всего 3 мкм. Именно в таких тонких капиллярных сосудах и происходит газообмен между кровью и тканями.
Вблизи стенки капилляра образуется очень тонкий слой плазмы, который играет роль смазки. Благодаря этому сопротивление движению эритроцитов уменьшается.
8.3. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса
В жидкости течение может быть ламинарным или турбулентным. На рисунке 8.6 это показано для одной окрашенной струи жидкости, текущей в другой.
В случае (а) струя окрашенной жидкости сохраняет неизменную форму и не смешивается с остальной жидкостью. В случае (б) окрашенная струя разрывается случайными завихрениями, картина которых меняется с течением времени. К турбулентному течению понятие «трубка тока» неприменимо.
Рис. 8.6.
Ламинарное (а) и турбулентное (б) течения струи жидкости
Ламинарное (слоистое) течение - такое течение, при котором слои жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно друга. Ламинарное течение является стационарным - скорость течения в каждой точке пространства остается постоянной.
Рассмотрим ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе радиуса R и длины L, давления на концах которой постоянны (Р 1 и Р 2). Выделим цилиндрическую трубку тока радиуса r (рис. 8.7).
На жидкость внутри этой трубки действуют сила давления F д = πг 2 (Р 1 - Р 2) и сила вязкого трения F тр = 2πrLηdv/dr (2πrL - пло-
Рис. 8.7.
Трубка тока и действующая на нее сила трения
щадь боковой поверхности). Так как течение стационарное, сумма этих сил равна нулю:
В соответствии с приведенным выражением имеет место параболическая зависимость скорости v
слоев жидкости от расстояния от них до оси трубы r (огибающая всех векторов скорости есть парабола) (рис. 8.8).
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0), слой, «прилипший» к стенке (r = R), неподвижен.
Рис. 8.8.
Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе
Турбулентное (вихревое) течение - такое течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке беспорядочно меняются. Такое движение сопровождается появлением звука. Турбулентное течение - это хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жидкости. Элементы жидкости совершают движение по сложным неупорядоченным траекториям, что приводит к перемешиванию слоев и образованию местных завихрений.
Структура турбулентного течения представляет собой нестационарную совокупность очень большого числа малых вихрей, наложенных на основное «среднее течение».
При этом говорить о течении в ту или иную сторону можно только в среднем за какой-то промежуток времени.
Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости: часть энергии расходуется на беспорядочное движение, направление которого отличается от основного направления потока, что в случае крови приводит к дополнительной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболевания. Этот шум прослушивается, например, на плечевой артерии при измерении давления крови.
Турбулентное движение крови может возникнуть вследствие неравномерного сужения просвета сосуда (или локального выпирания). Турбулентное течение создает условия для оседания тромбоцитов и образования агрегатов. Этот процесс часто является пусковым
в формировании тромба. Кроме того, если тромб слабо связан со стенкой сосуда, то под действием резкого перепада давления вдоль него вследствие турбулентности он может начать двигаться.
Число Рейнольдса
Понятия ламинарности и турбулентности применимы как к течению жидкости по трубам, так и к обтеканию ею различных тел. В обоих случаях характер течения зависит от скорости течения, свойств жидкости и характерного линейного размера трубы или обтекаемого тела.
Английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842-1912) составил безразмерную комбинацию, величина которой и определяет характер течения. Впоследствии эта комбинация была названа числом Рейнольдса (Re):
Число
Рейнольдса используют при моделировании гидро- и аэродинамических
систем, в частности кровеносной системы. Модель должна иметь такое же
число Рейнольдса, как и сам объект, в противном случае соответствия
между ними не будет.
Важным свойством турбулентного течения (по сравнению с ламинарным) является высокое сопротивление потоку. Если бы удалось «погасить» турбулентность, то удалось бы достичь огромной экономии мощности двигателей кораблей, подводных лодок, самолетов.
8.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление
Рассмотрим, от каких факторов зависит объем жидкости, протекающей по горизонтальной трубе.
Формула Пуазейля
При ламинарном течении жидкости по трубе радиуса R и длины L объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндрический слой радиуса r и толщины dr (рис. 8.9).
Рис. 8.9.
Сечение трубы с выделенным слоем жидкости
Площадь его поперечного сечения равна dS = 2πrdr. Так как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с одинаковой скоростью v. За одну секунду слой перенесет объем жидкости
Подставив сюда формулу для скорости цилиндрического слоя жидкости (8.4), получим
Это соотношение справедливо для ламинарного течения ньютоновской жидкости.
Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для труб переменного сечения. Заменим выражение (Р 1 - Р 2)/L на градиент давления dP/d/, тогда получим
Как видно из (8.8), при заданных внешних условиях объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов уменьшится в 2 раза, то для поддержания нормального кровотока перепад давлений нужно увеличить в 16 раз, что практически невозможно. В результате возникает кислородное голодание соответствующих тканей. Этим объясняется возникновение «грудной жабы». Облегчения можно достичь, вводя лекарственное вещество, которое расслабляет мышцы артериальных стенок и позволяет увеличить просвет сосуда и, следовательно, поток крови.
Поток крови, проходящей через сосуды, регулируется специальными мышцами, окружающими сосуд. При их сокращении просвет сосуда уменьшается и соответственно убывает поток крови. Таким образом, незначительным сокращением этих мышц очень точно контролируется поступление крови в ткани.
В организме путем изменения радиуса сосудов (сужения или расширения) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой.
Причины движения крови по сосудам
Главная движущая сила кровотока - разность давлений в начале и в конце сосудистой системы: в большом круге кровообращения - разность давлений в аорте и правом предсердии, в малом круге - в легочной артерии и левом предсердии.
Дополнителные факторы, способствующие движению крови по венам в сторону сердца:
1) полулунные клапаны вен конечностей, которые открываются под напором крови только в сторону сердца;
2) присасывающее действие грудной клетки, связанное с отрицательным давлением в ней при вдохе;
3) сокращение мышц конечностей, например, при хотьбе. При этом происходит надавливание на стенки вен, и кровь, благодаря клапанам и присасывающему действию грудной клетки при вдохе, выжимается в участки, расположенные ближе к сердцу.
Гидравлическое сопротивление
Проведем аналогию между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка цепи тока: I = ΔU /R. Для этого перепишем формулу (8.8) в следующем виде: Q = (P 1 - Р 2)/. Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина 8ηL/(πR 4) соответствует электрическому сопротивлению. Ее называют гидравлическим сопротивлением:
Гидравлическое сопротивление трубы прямо пропорционально ее длине и обратно пропорционально четвертой степени радиуса.
Если изменением кинетической энергии жидкости на некотором участке можно пренебречь, то рассмотренная аналогия применима и к потоку переменного сечения:
гидравлическим сопротивлением участка называется отношение перепада давлений к объему жидкости, протекающему за 1 секунду:
Наличие гидравлического сопротивления связано с преодолением сил внутреннего трения.
Законы гидродинамики значительно сложнее законов постоянного тока, поэтому и законы соединения труб (кровеносных сосудов) сложнее законов соединения проводников. Так, например, места резкого сужения потока (даже при небольшой длине) обладают большим собственным гидравлическим сопротивлением. Этим и объясняется значительное увеличение гидравлического сопротивления кровеносного сосуда при образовании небольшой бляшки.
Наличие собственного сопротивления у мест резкого сужения потока необходимо учитывать при расчете сопротивления участка, состоящего
Рис. 8.10.
Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (б)
из труб различного диаметра. На рис. 8.10,а показано последовательное сопротивление трех труб. Места сужения обладают собственным сопротивлением Х 12 и Х 23 . Поэтому сопротивление участка равно
Электрический аналог (8.13) формулы для расчета гидродинамического сопротивления параллельного соединения (рис 8.10, б) также требует учета сопротивлений мест соединения труб.
8.5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения
При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости работа внешних сил расходуется на преодоление внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Этот эффект может быть продемонстрирован на простом опыте. Установим в разных местах горизонтальной трубы, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 8.11).
Рис. 8.11.
Падение давления вязкой жидкости в трубах различного сечения
Из рисунка видно, что при постоянном сечении трубы давление падает пропорционально длине. При этом скорость падения давления (dP/dl ) увеличивается при уменьшении сечения трубы. Это объясняется ростом гидравлического сопротивления при уменьшении радиуса.
В кровеносной системе человека на капилляры приходится до 70 % падения давления.
8.6. Методы определения вязкости жидкостей
Совокупность методов измерения вязкости жидкости называется вискозиметрией. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром. В зависимости от метода измерения вязкости используют следующие типы вискозиметров.
1. Капиллярный вискозиметр Оствальда основан на использовании формулы Пуазейля. Вязкость определяется по результату измерения времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.
2. Медицинский вискозиметр Гесса с двумя капиллярами, в которых движутся две жидкости (например, дистиллированная вода и кровь). Вязкость одной жидкости должна быть известна. Учитывая, что перемещение жидкостей за одно и то же время обратно пропорционально их вязкости, вычисляют вязкость второй жидкости.
3. Вискозиметр, основанный на методе Стокса, согласно которому при движении шарика радиуса R в жидкости с вязкостью η при небольшой скорости v сила сопротивления пропорциональна вязкости этой жидкости: F = 6πηRv (формула Стокса). Эритроциты перемещаются в вязкой жидкости - плазме крови. Так как эритроциты имеют дискообразную форму и оседают в вязкой жидкости, то скорость их оседания (СОЭ) можно определить приближенно по формуле Стокса. О скорости оседания судят по количеству плазмы над осевшими эритроцитами. В норме скорость оседания эритроцитов равна: 7-12 мм/ч для женщин и 3-9 мм/ч для мужчин.
4. Вискозиметр ротационный (рис. 8.12) состоит из двух коаксиальных (соосных) цилиндров. Радиус внутреннего цилиндра - R, радиус внешнего цилиндра - R+ΔR (ΔR << R). Пространство между цилин-
Рис. 8.12.
Ротационный вискозиметр (сечения вдоль и перпендикулярно оси)
драми заполняют исследуемой жидкостью до некоторой высоты h. Затем внутренний цилиндр приводят во вращение, прикладывая определенный момент сил М, и измеряют установившуюся частоту вращения ν.
Вязкость жидкости вычисляют по формуле
Применяя ротационный вискозиметр, можно измерять вязкость при разных угловых скоростях вращения ротора. Данный метод позволяет установить зависимость между вязкостью и градиентом скорости, что важно для неньютоновских жидкостей.
8.7. Влияние вязкости на некоторые медицинские
процедуры
Наркоз
В некоторых медицинских мероприятиях используется наркоз. При этом необходимо по возможности уменьшить усилия, затрачиваемые больным на дыхание через эндотрахеальные и другие дыхательные трубки, посредством которых подается дыхательная смесь из аппаратов для наркоза (рис. 8.13).
Для обеспечения плавного газового потока используются плавно изогнутые соединительные трубки. Неровности внутренних стенок трубки, резкие изгибы и изменения внутреннего диаметра трубок
Рис.
8.13.
Дыхание больного через эндотрахеальную трубку
Рис. 8.14.
Возникновение турбулентности газового потока в трубке с резкими неоднородностями по сечению
и соединений часто являются причинами перехода ламинарного потока в турбулентный (рис. 8.14), что затрудняет процесс дыхания у больного.
На рисунке 8.15 приведен рентгеновский снимок головы больного, показывающий, что эндотрахеальная трубка перегнулась в глотке. В данном случае у больного обязательно возникнут затруднения дыхания.
Введение жидкостей через шприц и капельницу
Шприц - очень простой прибор (рис. 8.16), который используют для инъекций. И тем не менее при описании его работы часто допускается ошибка, связанная с нахождением перепада давлений (ΔР) на игле, которая приводит к неверному результату. Считают, что
Рис. 8.15.
Рентгеновский снимок, на котором виден перегиб дыхательной трубки
Рис. 8.16.
Работа шприца
ΔP = F/S, где F - сила, действующая на поршень, а S - его площадь. При этом исходят из следующих соображений: поршень движется медленно и динамическим давлением жидкости в цилиндре можно
пренебречь. Это неверно - на входе в иглу линии тока сгущаются и скорость движения жидкости резко возрастает.
Строгий расчет (см. задачу 8.12) приводит к следующему результату. Перепад давления на игле (ΔР) является решением квадратного уравнения
Значения всех величин подставляются в СИ.
Ниже приводятся результаты расчетов для двух игл длины 4 см, диаметры которых отличаются в 1,5 раза.
Из
результатов, представленных в нижней таблице, видно, что АР вовсе не
равно F/S! При этом увеличение диаметра иглы в 1,5 раза приводит к
увеличению объемной скорости всего в 3,5 раза, а не в 5 раз (1,5 4 = 5,06), как этого можно было ожидать. Ламинарный характер течения имеет место в обоих случаях.
Другим прибором для внутривенного вливания является капельница (рис. 8.17), которая позволяет вводить жидкость самотеком за счет разности давлений, создаваемой при подъеме камеры с препаратом на определенную высоту (~60 см).
Формулы 8.14, 8.15 применимы и здесь, если заменить величину F/S на гидростатическое давление столба жидкости pgh. При этом S - площадь сечения трубки, а u - скорость движения жидкости в ней. Ниже приведены результаты расчетов для h = 60 см.
Полученные
значения являются правильными, но не соответствуют тому, что происходит
на самом деле. В данном случае получается завышенное значение для
объемной скорости ввода препарата - 0,827 см 3 /с. Реальная скорость Q = 0,278 см 3 /с
(из расчета 500 мл за 30 минут). Расхождение получается из-за того, что
не учтено гидравлическое сопротивление, создаваемое устройством,
пережимающим трубку.
Риноманометрия
Полноценное носовое дыхание является необходимой предпосылкой для нормальной функции слуховой трубы, которая во многом зависит от степени аэрации носоглотки и правильного прохождения воздушных потоков в полости носа. Причиной нарушения носового дыхания часто являются некоторые врожденные патологии, например расщелина верхней губы и неба. Часто при лечении этой патологии
Рис. 8.17. Введение препарата через капельницу
используются хирургические методы, например реконструктивная ринохейлопластика (ринопластика - операции восстановления носа). Для объективной характеристики результатов оперативного вмешательства используется риноманометрия - метод определения объема носового дыхания и сопротивления. Скорость воздушного потока характеризуется формулой Пуазейля, при этом учитывается градиент давления, обусловленный изменением давления в носоглоточном пространстве; диаметр и длина носовой полости; характеристики воздушного потока в носоглотке (ламинарность или турбулентность). Данный метод реализуется с помощью прибора - риноманометра, который позволяет регистрировать давление в одной половине носа, пока пациент дышит через другую. Это осуществляется с помощью катетера, который специально крепится в носу. Компьютерная схема риноманометра позволяет автоматически измерить общий объем и сопротивление воздуха на вдохе и выдохе, раздельно проанализировать поток и сопротивление воздуха в каждой половине носа и рассчитать их соотношение. Это позволяет определить носовое дыхание до и после операции и оценить степень восстановления носового дыхания.
Фотогемотерапия
При заболеваниях, сопровождающихся повышением вязкости крови, для уменьшения вязкости крови применяется метод фотогемотерапии. Он заключается в том, что у больного берут небольшое количество крови (примерно 2 мл/кг веса), подвергают ее УФ-облучению и вводят обратно в кровеносное русло. Примерно через 5 мин после введения больным 100-200 мл облученной крови наблюдается значительное снижение вязкости во всем объеме (около 5 л) циркулирующей крови. Исследования зависимости вязкости от скорости движения крови показали, что при фотогемотерапии вязкость сильнее всего снижается (примерно на 30 %) в медленно движущейся крови и совсем не меняется в быстро движущейся крови. УФ-облучение вызывает снижение способности эритроцитов к агрегации и увеличивает деформируемость эритроцитов. Помимо этого происходит снижение образования тромбов. Все эти явления приводят к значительному улучшению как макро-, так и микроциркуляции крови.
8.8. Основные понятия и формулы
Окончание таблицы
8.9. Задачи
1. Вывести формулу для определения вязкости ротационным вискозиметром. Дано: R, ΔR, h, ν, M.
2.
Определить
время протекания крови через капилляр вискозиметра, если вода протекает
через него за 10 с. Объемы воды и крови одинаковы. Плотность воды и
крови равны p 1 = 1 г/см 3 , ρ 2 = 1,06 г/см 3 . Вязкость крови относительно воды равна 5 (η 2 /η 1 = 5).
3.
Допустим,
что в двух кровеносных сосудах градиент давления одинаков, а поток
крови (объемный расход) во втором сосуде на 80% меньше, чем в первом.
Найти отношение их диаметров.
4.
Какова
должна быть разность давлений АР на концах капилляра радиуса r = 1 мм и
длины L = 10 см, чтобы за время t = 5 с через него можно было
пропустить объем V = 1 см 3 воды (коэффициент вязкости η 1 = 10 -3 Пас) или глицерина (η 2 = 0,85 Пас)?
5.
Падение
давления в кровеносном сосуде длины L = 55 мм и радиуса r = 1,5 мм
равно 365 Па. Определить, сколько миллилитров крови протекает через
сосуд за 1 минуту. Коэффициент вязкости крови η = 4,5 мПа-с.
6.
При
атеросклерозе, вследствие образования бляшек на стенках сосуда,
критическое значение числа Рейнольдса может снизиться до 1160.
Определить для этого случая скорость, при которой возможен переход
ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм.
Плотность крови равна ρ = 1050 кг/м 3 , вязкость крови равна η = 5х10 -3 Пас.
7.
Средняя
скорость крови в аорте радиусом 1 см равна 30 см/с. Выяснить, является
ли данное течение ламинарным? Плотность крови ρ = 1,05х10 3 кг/м 3 .
η = 4х10 -3 Па-с; Rе кр = 2300.
8. При большой физической нагрузке скорость кровотока иногда увеличивается вдвое. Пользуясь данными примера задачи (7), определить характер течения в этом случае.
Решение
Re = 2x1575 = 3150. Течение турбулентное.
Ответ: число Рейнольдса больше критического значения, поэтому течение может стать турбулентным.
10.
Определить
максимальную массу крови, которая может пройти за 1 с через аорту при
сохранении ламинарного характера течения. Диаметр аорты D = 2 см,
вязкость крови η = 4x10 -3 Па-с.
11.
Определить
максимальную объемную скорость протекания жидкости по игле шприца с
внутренним диаметром D = 0,3 мм, при которой сохраняется ламинарный
характер течения.
12.
Найти
объемную скорость жидкости в игле шприца. Плотность жидкости - ρ; ее
вязкость - η; диаметр и длина иглы D и L соответственно; сила,
действующая на поршень, - F; площадь поршня - S.
Интегрируя по r, получим:
Пусть поршень шприца движется под действием силы F со скоростью u. Тогда мощность внешней силы N F = Fu.
Суммарная работа всех сил равна изменению кинетической энергии. Следовательно,
Подставив найденное значение A
P
во второе уравнение, получим все интересующие нас величины: скорость
поршня и, объемную скорость кровотока Q, скорость жидкости в игле v.
Сила сопротивления при движении в вязкой среде
В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. Поэтому, как бы ни была мала внешняя сила, она может сообщить относительную скорость слоям вязкой среды.
Замечание 1
Следует иметь в виду, что, помимо собственно сил трения, при движении тел в жидкой или газообразной среде возникают так называемые силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем силы трения.
Правила поведения жидкости и газа в отношении трения не различаются. Поэтому все сказанное ниже относится в равной степени и к жидкостям, и к газам.
Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде обладает определенными свойствами:
Изложим закономерности, которым подчиняются силы трения и сопротивления среды совместно, причём условно будем называть суммарную силу силой трения. Вкратце эти закономерности сводятся к следующему - величина силы трения зависит:
Типичная зависимость силы трения от скорости тела по отношению к среде показана графически на рис. 1.~
Рисунок 1. График зависимости силы трения от скорости по отношению к среде
При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости и сила трения растет линейно со скоростью:
$F_{mp} =-k_{1} v$ , (1)
где знак «-» означает, что сила трения направлена в сторону, противоположную скорости.
При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный т.е. сила трения начинает расти пропорционально квадрату скорости:
$F_{mp} =-k_{2} v^{2}$ (2)
Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду.
Величина коэффициентов $k_{1} $ и $k_{2}$ (их можно назвать коэффициентами трения) в сильной степени зависит от формы, и размеров тела, состояния его поверхности и от вязких свойств среды. Например, для глицерина они оказываются гораздо большими, чем для воды. Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определённого момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести .
Значение скорости, при которой закон (1) переходит в (2), оказывается зависящим от тех же причин.
Пример 1
Два металлических шарика, одинаковых по размеру и различных по массе, падают без начальной скорости с одной и той же большой высоты. Какой из шариков быстрее упадёт на землю --- лёгкий или тяжёлый?
Дано: $m_{1} $, $m_{2} $, $m_{1} >m_{2} $.
Шарики при падении не набирают скорость безгранично, а с определённого момента начинают падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления (2) становится равна силе тяжести:
Отсюда установившаяся скорость:
Из полученной формулы следует, что у тяжёлого шарика установившаяся скорость падения больше. Значит, он дольше будет набирать скорость и потому быстрее достигнет земли.
Ответ : Тяжелый шарик быстрее достигнет земли.
Пример 2
Парашютист, летящий до раскрытия парашюта со скоростью $35$ м/с, раскрывает парашют, и его скорость становится равной $8$ м/с. Определите, какой примерно была сила натяжения строп при раскрытии парашюта. Масса парашютиста $65$ кг, ускорение свободного падения $10 \ м/с^2.$ Принять, что $F_{mp}$ пропорциональна $v$.
Дано: $m_{1} =65$кг, $v_{1} =35$м/с, $v_{2} =8$м/с.
Найти: $T$-?
Рисунок 2.
До раскрытия парашюта парашютист имел
постоянную скорость $v_{1} =35$м/с, значит ускорения парашютиста было равно нулю.
После раскрытия парашюта парашютист имел постоянную скорость $v_{2} =8$м/с.
Второй закон Ньютона для этого случая будет выглядеть следующим образом:
Тогда искомая сила натяжения строп будет равна:
$T=mg(1-\frac{v_{2} }{v_{1} })\approx 500$ Н.
Отличие вязкого трения от сухого заключается в том, что оно способно обращаться в ноль одновременно со скоростью. Даже при малой внешней силе может быть сообщена относительная скорость слоям вязкой среды.
Кроме сил трения при движении в жидких и газообразных средах возникают силы сопротивления среды, которые проявляются намного значительней, чем силы трения.
Поведение жидкости и газа по отношению к проявлениям сил трения не отличаются. Поэтому, приведенные ниже характеристики, относят к обоим состояниям.
Определение 1
Действие силы сопротивления, возникающей при движении тела в вязкой среде, обусловлено ее свойствами:
Существуют определенные закономерности, которым подчинены и силы трения и сопротивления среды с условным обозначением суммарной силы силой трения. Ее величина находится в зависимости от:
Для изображения зависимости силы трения от скорости тела по отношению к среде используют график рисунка 1 .
Рисунок 1 . График зависимости силы трения от скорости по отношению к среде
Если значение скорости мало, то сила сопротивления прямо пропорциональна относительно υ , а сила трения линейно увеличивается со скоростью:
F т р = - k 1 υ (1) .
Наличие минуса означает направление силы трения в противоположную сторону относительно направления скорости.
При большом значении скорости происходит переход линейного закона в квадратичный, то есть рост силы трения пропорционально квадрату скорости:
F т р = - k 2 υ 2 (2) .
Если в воздухе уменьшается зависимость силы сопротивления от квадрата скорости, говорят о скоростях со значениями нескольких метров в секунду.
Величина коэффициентов трения k 1 и k 2 находится в зависимости от формы, размера и состояния поверхности тела и вязких свойств среды.
Пример 1
Если рассматривать затяжной прыжок парашютиста, то его скорость не может постоянно увеличиваться, в определенный момент начнется ее спад, при котором сила сопротивления приравняется к силе тяжести.
Значение скорости, при котором закон (1) производит переход в (2) , зависит от тех же причин.
Пример 2
Происходит падение двух различных по массе металлических шариков с одной и той же высоты с отсутствующей начальной скоростью. Какой из шаров упадет быстрее?
Дано: m 1 , m 2 , m 1 > m 2
Решение
Во время падения оба тела набирают скорость. В определенный момент движение вниз производится с установившейся скоростью, при которой значение силы сопротивления (2) приравнивается силе тяжести:
F т р = k 2 υ 2 = m g .
Получаем установившуюся скорость по формуле:
υ 2 = m g k 2 .
Следовательно, тяжелый шарик обладает большей установившейся скоростью падения, чем легкий. Поэтому достижение земной поверхности произойдет быстрее.
Ответ: тяжелый шарик быстрее достигнет земли.
Пример 3
Парашютист летит со скоростью 35 м / с до раскрытия парашюта, а после – со скоростью 8 м / с. Определить силу натяжения строп при раскрытии парашюта. Масса парашютиста 65 к г, ускорение свободного падения 10 м / с 2 . Обозначить пропорциональность F т р относительно υ .
Дано: m 1 = 65 к г, υ 1 = 35 м / с, υ 2 = 8 м / с.
Найти: T - ?
Решение
Рисунок 2
Перед раскрытием парашютист обладал скоростью υ 1 = 35 м / с, то есть его ускорение было равным нулю.
По второму закону Ньютона получаем:
0 = m g - k υ 1 .
Очевидно, что
После того, как парашют раскрылся, его υ меняется и становится равной υ 2 = 8 м / с. Отсюда второй закон Ньютона примет вид:
0 - m g - k υ 2 - T .
Для нахождения силы натяжения строп необходимо преобразовать формулу и подставить значения:
T = m g 1 - υ 2 υ 1 ≈ 500 Н.
Ответ: T = 500 Н.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Вя́зкость (вну́треннее тре́ние ) - одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В результате работа , затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.
Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей - это описывается введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.
Различают динамическую вязкость (единица измерения в Международной системе единиц (СИ) - Па · , в системе СГС - пуаз ; 1 Па·с = 10 пуаз ) и кинематическую вязкость (единица измерения в СИ - м²/с, в СГС - стокс , внесистемная единица - градус Энглера). Кинематическая вязкость может быть получена как отношение динамической вязкости к плотности вещества и своим происхождением обязана классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного объёма через калиброванное отверстие под действием силы тяжести. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром .
Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка 10 11 −10 12 Па·с .
1 / 5
Сила вязкого трения F , действующая на жидкость, пропорциональна (в простейшем случае сдвигового течения вдоль плоской стенки ) скорости относительного движения v тел и площади S и обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями h :
F → ∝ − v → ⋅ S h {\displaystyle {\vec {F}}\propto -{\frac {{\vec {v}}\cdot S}{h}}}Коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости или газа, называют коэффициентом динамической вязкости . Этот закон был предложен Исааком Ньютоном в 1687 году и носит его имя (закон вязкости Ньютона). Экспериментальное подтверждение закона было получено в начале XIX века в опытах Кулона с крутильными весами и в экспериментах Хагена и Пуазёйля с течением воды в капиллярах .
Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого трения , кроме прочего, то, что тело при наличии только вязкого трения и сколь угодно малой внешней силы обязательно придет в движение, то есть для вязкого трения не существует трения покоя , и наоборот - под действием только вязкого трения тело, вначале двигавшееся, никогда (в рамках макроскопического приближения, пренебрегающего броуновским движением) полностью не остановится, хотя движение и будет бесконечно замедляться.
Вторая вязкость, или объёмная вязкость - внутреннее трение при переносе импульса в направлении движения. Влияет только при учёте сжимаемости и (или) при учёте неоднородности коэффициента второй вязкости по пространству.
Если динамическая (и кинематическая) вязкость характеризует деформацию чистого сдвига, то вторая вязкость характеризует деформацию объёмного сжатия.
Объёмная вязкость играет большую роль в затухании звука и ударных волн , и экспериментально определяется путём измерения этого затухания.
μ = μ 0 T 0 + C T + C (T T 0) 3 / 2 . {\displaystyle {\mu }={\mu }_{0}{\frac {T_{0}+C}{T+C}}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2}.}
Эту формулу можно применять для температур в диапазоне 0 < T < 555 K и при давлениях менее 3,45 МПа с ошибкой менее 10 %, обусловленной зависимостью вязкости от давления.
Постоянная Сазерленда и контрольные вязкости газов при различных температурах приведены в таблице ниже
| Газ | C | T 0 | μ 0
Вязкость жидкостейДинамическая вязкостьτ = − η ∂ v ∂ n , {\displaystyle \tau =-\eta {\frac {\partial v}{\partial n}},}Коэффициент вязкости η {\displaystyle \eta } (коэффициент динамической вязкости, динамическая вязкость) может быть получен на основе соображений о движениях молекул. Очевидно, что η {\displaystyle \eta } будет тем меньше, чем меньше время t «оседлости» молекул. Эти соображения приводят к выражению для коэффициента вязкости, называемому уравнением Френкеля-Андраде: η = C e w / k T {\displaystyle \eta =Ce^{w/kT}}Иная формула, представляющая коэффициент вязкости, была предложена Бачинским . Как показано, коэффициент вязкости определяется межмолекулярными силами, зависящими от среднего расстояния между молекулами; последнее определяется молярным объёмом вещества V M {\displaystyle V_{M}} . Многочисленные эксперименты показали, что между молярным объёмом и коэффициентом вязкости существует соотношение: η = c V M − b , {\displaystyle \eta ={\frac {c}{V_{M}-b}},}где с и b - константы. Это эмпирическое соотношение называется формулой Бачинского . Динамическая вязкость жидкостей уменьшается с увеличением температуры, и растёт с увеличением давления. Кинематическая вязкостьВ технике, в частности, при расчёте гидроприводов и в триботехнике , часто приходится иметь дело с величиной: ν = η ρ , {\displaystyle \nu ={\frac {\eta }{\rho }},}и эта величина получила название кинематической вязкости . Здесь ρ {\displaystyle \rho } - плотность жидкости; η {\displaystyle \eta } - коэффициент динамической вязкости (см. выше). Кинематическая вязкость в старых источниках часто указана в сантистоксах (сСт). В СИ эта величина переводится следующим образом: 1 сСт = 1 мм 2 / {\displaystyle /} 1 c = 10 −6 м 2 / {\displaystyle /} c Условная вязкостьУсловная вязкость - величина, косвенно характеризующая гидравлическое сопротивление течению, измеряемая временем истечения заданного объёма раствора через вертикальную трубку (определённого диаметра). Измеряют в градусах Энглера (по имени немецкого химика К. О. Энглера), обозначают - °ВУ. Определяется отношением времени истечения 200 см 3 испытываемой жидкости при данной температуре из специального вискозиметра ко времени истечения 200 см 3 дистиллированной воды из того же прибора при 20 °С. Условную вязкость до 16 °ВУ переводят в кинематическую по таблице ГОСТ, а условную вязкость, превышающую 16 °ВУ, по формуле: ν = 7 , 4 ⋅ 10 − 6 E t , {\displaystyle \nu =7,4\cdot 10^{-6}E_{t},}где ν {\displaystyle \nu } - кинематическая вязкость (в м 2 /с), а E t {\displaystyle E_{t}} - условная вязкость (в °ВУ) при температуре t. Ньютоновские и неньютоновские жидкостиНьютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации. В уравнении Навье - Стокса для ньютоновской жидкости имеет место аналогичный вышеприведённому закон вязкости (по сути, обобщение закона Ньютона, или закон Навье - Стокса ): σ i j = η (∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i) , {\displaystyle \sigma _{ij}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right),}где σ i , j {\displaystyle \sigma _{i,j}} - тензор вязких напряжений. η (T) = A ⋅ exp (Q R T) , {\displaystyle \eta (T)=A\cdot \exp \left({\frac {Q}{RT}}\right),}где Q {\displaystyle Q} - энергия активации вязкости (Дж/моль), T {\displaystyle T} - температура (), R {\displaystyle R} - универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/моль·К) и A {\displaystyle A} - некоторая постоянная. Вязкое течение в аморфных материалах характеризуется отклонением от закона Аррениуса : энергия активации вязкости
Q
{\displaystyle Q}
изменяется от большой величины
Q
H
{\displaystyle Q_{H}}
при низких температурах (в стеклообразном состоянии) на малую величину
Q
L
{\displaystyle Q_{L}}
при высоких температурах (в жидкообразном состоянии). В зависимости от этого изменения аморфные материалы классифицируются либо как сильные, когда
(Q
H
−
Q
L)
<
Q
L
{\displaystyle \left(Q_{H}-Q_{L}\right) Вязкость аморфных материалов весьма точно аппроксимируется двуэкспоненциальным уравнением : η (T) = A 1 ⋅ T ⋅ [ 1 + A 2 ⋅ exp B R T ] ⋅ [ 1 + C exp D R T ] {\displaystyle \eta (T)=A_{1}\cdot T\cdot \left\cdot \left}с постоянными A 1 {\displaystyle A_{1}} , A 2 {\displaystyle A_{2}} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} и D {\displaystyle D} , связанными с термодинамическими параметрами соединительных связей аморфных материалов. В узких температурных интервалах недалеко от температуры стеклования T g {\displaystyle T_{g}} это уравнение аппроксимируется формулами типа VTF или сжатыми экспонентами Кольрауша. Если температура существенно ниже температуры стеклования
T
<
T
g
{\displaystyle T с высокой энергией активации Q H = H d + H m {\displaystyle Q_{H}=H_{d}+H_{m}} , где H d {\displaystyle H_{d}} - |
|---|
Вязкость (внутреннее трение) (англ . viscosity) - одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей - это описывается введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно. Основной закон вязкого течения был установлен И. Ньютоном (1687): В применении к жидкостям различают вязкость:
Это явление возникновения касательных сил, препятствующих перемещению частей жидкости или газа друг по отношению к другу. Смазка между двумя твердыми телами заменяет сухое трение скольжения трением скольжения слоев жидкости или газа по отношению друг к другу. Скорость частиц среды плавно меняется от скорости одного тела до скорости другого тела.
Сила вязкого трения пропорциональна скорости относительного движения V тел, пропорциональна площади S и обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями h .
F=-V S / h ,Коэффициент пропорциональности, зависящий от сорта жидкости или газа, называют коэффициентом динамической вязкости . Самое важное в характере сил вязкого трения то, что при наличии любой сколь угодно малой силы тела придут в движение, то есть не существует трения покоя . Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого трения
Если движущееся тело полностью погружено в вязкую среду и расстояния от тела до границ среды много больше размеров самого тела, то в этом случае говорят о трении или сопротивлении среды . При этом участки среды (жидкости или газа), непосредственно прилегающие к движущемуся телу, движутся с такой же скоростью, как и само тело, а по мере удаления от тела скорость соответствующих участков среды уменьшается, обращаясь в нуль на бесконечности.
Сила сопротивления среды зависит от:
Например, при медленном движении шарика в вязкой жидкости силу трения можно найти, используя формулу Стокса:
F=-6 R V,Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого трения , кроме прочего, то, что тело при наличии только вязкого трения и сколь угодно малой внешней силы обязательно придет в движение, то есть для вязкого трения не существует трения покоя, и наоборот - под действием только вязкого трения тело, вначале двигавшееся, никогда (в рамках макроскопического приближения, пренебрегающего броуновским движением) полностью не остановится, хотя движение и будет бесконечно замедляться.
Вязкость газов (явление внутреннего трения) - это появление сил трения между слоями газа , движущимися друг относительно друга параллельно и с разными по величине скоростями. Вязкость газов увеличивается с ростом температуры
Взаимодействие двух слоев газа рассматривается как процесс, в ходе которого от одного слоя к другому передается импульс. Сила трения на единицу площади между двумя слоями газа, равная импульсу, передаваемому за секунду от слоя к слою через единицу площади, определяется законом Ньютона:
где:
dν / dz
- градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению движения слоев газа.
Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости.
η
- динамическая вязкость.
ρ
- плотность газа,
(ν)
- средняя арифметическая скорость молекул
λ
- средняя длина свободного пробега молекул.
Вязкость жидкости
- это свойство, проявляющееся только при движении жидкости, и не влияющее на покоящиеся жидкости. Вязкое трение в жидкостях подчиняется закону трения, принципиально отличному от закона трения твёрдых тел, т.к. зависит от площади трения и скорости движения жидкости.
Вязкость
– свойство жидкости оказывать сопротивление относительному сдвигу ее слоев. Вязкость проявляется в том, что при относительном перемещении слоев жидкости на поверхностях их соприкосновения возникают силы сопротивления сдвигу, называемые силами внутреннего трения, или силами вязкости. Если рассмотреть то, как распределяются скорости различных слоёв жидкости по сечению потока, то можно легко заметить, что чем дальше от стенок потока, тем скорость движения частиц больше. У стенок потока скорость движения жидкости равна нулю. Иллюстрацией этого является рисунок, так называемой, струйной модели потока.
Медленно движущийся слой жидкости «тормозит» соседний слой жидкости, движущийся быстрее, и наоборот, слой, движущийся с большей скоростью, увлекает (тянет) за собой слой, движущийся с меньшей скоростью. Силы внутреннего трения появляются вследствие наличия межмолекулярных связей между движущимися слоями. Если между соседними слоями жидкости выделить некоторую площадку S , то согласно гипотезе Ньютона:
F=μ S (du / dy),Величина μ в этом выражении является динамическим коэффициентом вязкости , равным:
μ= F / S 1 / du / dy , μ=τ 1 / du / dy ,Физический смысл коэффициента вязкого трения - число, равное силе трения, развивающейся на единичной поверхности при единичном градиенте скорости.
На практике чаще используется кинематический коэффициент вязкости , названный так потому, что в его размерности отсутствует обозначение силы. Этот коэффициент представляет собой отношение динамического коэффициента вязкости жидкости к её плотности:
ν= μ / ρ ,Единицы измерения коэффициента вязкого трения:
Для капельных жидкостей вязкость зависит от температуры t и давления Р , однако последняя зависимость проявляется только при больших изменениях давления, порядка нескольких десятков МПа.
Зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры выражается формулой вида:
μ t =μ 0 e -k t (T-T 0) ,Зависимость относительного коэффициента динамической вязкости от давления описывается формулой:
μ р =μ 0 e -k р (Р-Р 0) ,Влияние давления на вязкость жидкости проявляется только при высоких давлениях.
Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации. В уравнении Навье - Стокса для ньютоновской жидкости имеет место аналогичный вышеприведённому закон вязкости (по сути, обобщение закона Ньютона, или закон Навье).
