Непрерывность функции двух переменных в замкнутой плоскости. Дифференцирование функции двух переменных

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f (x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x 2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F (x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x , y ) – A | < ε(3)

для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам

< δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что

и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если

< δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию

(х 4 + у 2 ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

|f (x , y ) | > N ,

коль скоро 0 <

< δ.

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

(5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству. Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом.

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство.

Обозначается предел следующим образом:

Пример 1. Найти предел.

Решение. Введем обозначение, откуда. При имеем, что. Тогда

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке, если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел; 3) этот предел равен значению функции в точке, т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Пример 2. Найти точки разрыва функции.

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или. Это окружность с центром в начале координат и радиусом. Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность.

Дискретная математика

Все логические операции, которые были рассмотрены в 3.2, распространяются и на функции нескольких переменных. Теперь будем рассматривать функции F(x1, x2,…, xn), где xi - логические переменные, которые принимают значения нуля или единицы...

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Если = a1b1. то =а1b1+а2b2 Теорема 1. Пусть (а1а2)(b1b2) - одномонотонные последовательности. Тогда Доказательство Действительно, - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2 имеют одинаковый знак...

Математическое программирование

Метод множителей Лагранжа можно использовать при построении критериев оптимальности для задач с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот подход на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями...

Минимакс и многокритериальная оптимизация

Пусть имеется функция f(x) при x ? x, х = (х1, ... , хn). Рассмотрим все ее первые и вторые производные в точке: = 0, ; || || , -- положительно (отрицательно) определенная матрица. Тогда в таких точках будет наблюдаться соответственно минимум (максимум)...

Минимум функции многих переменных

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений...

Применение производной к решению задач

Определение 3. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a или в некоторых точках этой окрестности. Функция y=f(x) стремится к пределу b(yb) при x, стремящемся к a, если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было...

Пусть функция f(x) определена на (a, + ?). Число A называется пределом функции f(x) при x > + ? (обозначается A = lim x > + ? f(x)), если? ? > 0 ? N: ? x > N ? |f(x) ? a| < ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

Решение заданий по высшей математике

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Число A называется пределом функции f(x) при x > x0 (или в точке x0), если для любого? > 0 найдется? > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x ? x0| < ?...

Сравнительный анализ методов оптимизации

Будем рассматривать функции многих переменных f =f (x1, …, xn) как функции, заданные в точках х n-мерного евклидова пространства Еn: f =f (х). 1. Точка х*Еn, называется точкой глобального минимума функции f (х)...

Функции многих переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов...

Функции нескольких переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству...

Функции нескольких переменных

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство, ()...

Определение 25.7.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

Пример 25.3.

1) непрерывна в любой точке.

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называется связным , если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует, состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называется открытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называется граничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называется границей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью .

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным , если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4 . Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то.

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки. Зададим переменнойв точкеприращение, оставляянеизменным, т.е. перейдем к точке, принадлежащей области(области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называется частной производной функции в точкепо переменной.

Обозначение: .

Аналогично определяется

Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функциина области, то частные производные можно рассматривать как новые функции на области.

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменнойпри фиксированном значении.

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: ,,.

Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

- полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

где -константы,-бесконечно малые функции при .

Теорема 26.1.

Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости ).

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные, причем:

. (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где при- бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при, получим:

то есть частная производная по переменной существует и равна.

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1 . Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

непрерывна в точке (0,0), но не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция имеет частные производные в точке (0,0),

но не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости ).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция дифференцируема в точке, то дифференциаломназывается линейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке, т.е.

, или

Дифференциалами независимых переменных называются их приращения

Производная сложной функции двух переменных

Пусть – функция двух переменныхи каждая из них является функцией от переменной:.

Тогда – сложная функция переменной.

Теорема 26.4.

Если функции дифференцируемые в точке,

–дифференцируема в точке , то сложная функциятакже дифференцируема в точке. При этом:

(26.4)

Пример 26.4.

Замечание 3.

Если и, то.

Градие́нт (от лат.gradiens , род. падеж gradientis - шагающий, растущий) - вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат,,называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если - функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором , то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного ), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор

Δf(x) = df ,…, df

dx 1 dx n

указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с , который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c 1 x 1 + c 2 x 2 =const , то этот вектоp имеет вид

и указывает направление возрастания функции.

Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D , через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с ) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D , из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно. Такой метод решения получил название графического . Заметим, что решение задачи поиска минимума линейной функции осуществляется аналогично, с той лишь разницей, что движение по линиям уровня должно производиться в направлении, обратном градиенту целевой функции, т. е. по вектору (-с ).

На рис. 1.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* = (0, 6) области D . Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 1.2.

Рисунок (а ) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x)=cx на множестве D , т.е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с , ее значение будет возрастать.

В случае, изображенном на рисунке (b ), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D , и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.

Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования .

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

Обозначается предел .

Определение 2. Функция
называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и .

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

2)Случайная величина - одно из основных понятий теории вероятностей. Случайная величина - этоизмеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве

Дискретной называется случайная величина, которая при испытаниях может принимать одно из изолированных значений, количество которых конечно. К ним относятся величины из первой группы.
Непрерывной называют случайную величину, которая в пределах ее изменения может принимать любые значения, которые могут быть конечными или бесконечными. К ним относятся величины из второй группы.

Билет №6

1)Возведение в степень - бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называетсястепенью с основанием и показателем .

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.

Доказательство [править]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b - целое число.

Применение [править]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

где k = 0, 1, …, n -1.

Вероятность гипотез

Вероятность гипотез.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

Формула Байеса :

Априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

Вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

Вероятность наступления события B при истинности гипотезы A ;

Полная вероятность наступления события B .

Пример:

Пример расчёта

Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего - , а у третьего - . Первый изготовил деталей, второй - деталей, а третий - деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?

Cобытие - брак детали, событие - деталь произвёл рабочий . Тогда , где , а . По формуле полной вероятности

По формуле Байеса получим:

Билет №12

1. Тригонометрический ряд Фурье - представление произвольной функции с периодом в виде ряда

коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.

2.Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то противоположное событие - промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - противоположные

, очевидно, равна 10 / 21, что и утверждалось выше. [1 ]

Вычислим вероятность противоположного события А. Событие состоит в том, что выбранный номер не содержит ни одной из трех данных цифр. [2 ]

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. [3 ]

При этом вероятность противоположного события А будет больше, чем 1-а, то есть будет так же близка к единице, как вероятность события А близка к нулю

Билет №9

1. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им частоты n i . Точки (x i ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению n i / h (плотность частоты).

2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…

Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0,называют также теоремой умножения вероятностей

Билет №11

1) Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

Свойства плотности распределения вероятностей

непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя, описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть B – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1 Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции , а число – зависимой переменной .

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции – вся плоскость, а функции – единичный круг с центром в начале координат ( или .

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множествовсех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестностьточки–это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2 Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом: или .

Пример 1 Найти предел .

Решение. Введем обозначение , откуда . При имеем, что . Тогда

Определение 3 Функция называется непрерывной в точке , если: 1)определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Пример 2 Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .

2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков

Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :

Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу приращение , получим частное приращение функции по переменной :

Величина называется полным прира-щением функции в точке .

Определение 4 Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или , или .

Таким образом, по определению 4 имеем:

Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .

Пример 3 Найти частные производные функций:

Решение:

1 Чтобы найти , считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :

Аналогично, считая постоянной величиной, находим :

Определение 5 Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

При нефиксированных : , а формулу полного дифференциала можно записать в виде

или .

Пример 4 Найти полный дифференциал функции .

Решение. Так как , то по формуле полного дифференциала находим

Частные производные и называют частными производными первого порядка.

Определение 6 Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

Или ; или ;

Или ; или .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:

; и т. д.

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5 Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

Дифференцируя и по переменным х и y , получим:

3 Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7 Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума , а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными . В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь его.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1 Найти частные производные первого порядка: и .

2 Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3 Найти частные производные второго порядка: , , .

4 Вычислить значения частных производных второго порядка в каж-

дой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5 Найти экстремумы функции.

Пример 6 Найти экстремумы функции .

Решение:

1 Находим частные производные и :

; .

2 Для определения критических точек решаем систему уравнений:

или

Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим:

, , ,

Находим значения y , соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: ; Таблица основных неопределенных интегралов выполняется равенство.