МОУ средняя общеобразовательная школа № 18.
«Исследование функции с помощью производной».
Реферат по математике ко Дню науки.
Выполнила:
ученица 11”Б” класса
Бокарева Ирина Николаевна
Руководитель:
учитель математики
Батюкова Галина Викторовна.
Смоленск 2005
Введение. 3
Глава I. Развитие понятия функции. 4
Глава II. Основные свойства функции. 7
2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и
область значений функции. Нули функции. 7
2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические
функции). 8
2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10
Глава III. Исследование функций. 12
3.1. Общая схема исследования функций. 12
3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12
3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13
3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14
Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15
Заключение. 22
Список литературы 23
Введение.
Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.
Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.
Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:
Систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;
Усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.
Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.
Работа над содержанием темы «Исследование функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.
Глава I. Развитие понятия функции.
Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.
Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.
Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.
Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.
Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».
В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».
Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.
Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.
Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.
Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.
Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.
Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.
Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.
Глава II. Основные свойства функции.
2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.
Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.
Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.
Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).
Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.
Аналитический – с помощью формул.
Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.
Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.
Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.
Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)
Ответ: D(y)=(1,5; +∞).
Одним из понятий для исследования функции является нули функции.
Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.
Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.
По определению:
Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.
Пример 3. Найти нули функции y=4x-8
По определению:
у=0, тогда
Ответ: нулями этой функции является точка х=2.
2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.
Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.
y=2cos2x, D(y)=R
y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.
Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.
y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.
y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.
Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.
y=2sin2x, D(y)=R
y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.
Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.
y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.
Пример 4. Пример 5.
Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).
Пример 8. Определить период функции y=cos2x.
cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где2T=2π, т.е. Т=π.
Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.
Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.
sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.
2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.
Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.
Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2)>f(x 1).
Функция fубывает на множестве Р, если для любых х 1
и х 2
из множества Р, таких, что х 2
>х 1
, выполнено неравенство f(x 2) Иными словами, функция fназывается возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция fназывается убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (x min) и максимума (x max). Точка х 0
называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0
выполнено неравенство f(x) ≤f(x 0). Точка х 0
называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0
выполнено неравенство f(x)≥ f(x 0). Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума. Пример 10.
Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x 2
+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции. y=x 2
+2x, D(y)=R y’=(x 2
+2x)’=2x+2 y’=0, т.е. 2х+2=0 Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки. x=-2, y’=-4+2<0 x=0, y’=0+2>0 Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции. Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1]. Точки экстремума: x min
= -1 Экстремумы функции: y min
=y(-1)=1-2= -1 Глава III. Исследование функций. 3.1. Общая схема исследования функций. Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования: 1) D(y) – область определения (область изменения переменной х) 2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у) 3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида. 4) Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности). 5) Промежутки знакопостоянства: а) функция принимает положительное значение: f(x)>0 б) отрицательное значение: f(x)<0. 6) Промежутки монотонности функции: а) возрастания; б) убывания; в) постоянства (f=const). 7) Точки экстремума (точки минимума и максимума) 8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума) 9) Дополнительные точки. Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции. Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции. 3.2. Признак возрастания и убывания функций. Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции. Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции. Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы. Определение монотонности функции на интервале
Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х 1
и х 2
этого интервала из условия х 1
<х 2
следует, что f(x 1) Достаточный признак монотонности функции в интервале.
Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства. Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы. 3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. Определение точек экстремума функции
. Пусть х 0
– внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x 0
- δ, x 0
+ δ [ точки х 0
, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x 0) (неравенство f(x)≥f(x 0)), точка х 0
называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции. Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции. Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции
. Теорема Ферма.
Если х 0
есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x 0)=0. Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х 0
производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х 0
функция имеет экстремум. Определение критических точек функции
. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Достаточные условия существования экстремума
. Теорема 1.
Если функция f(x) непрерывна в точке х 0
, f ‘(x)>0 на интервале и f ‘(x)<0 на интервале , то х 0
является точкой максимума функции f(x). Теорема 2.
Если функция f(x) непрерывна в точке х 0
, f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 на интервале , то х 0
является точкой минимума функции f(x). Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума. 3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. Пример 11.
Исследовать функцию y=x 3
+6x 2
+9x и построить график. 2) Определим вид функции: y(-x)=(-x) 3
+6(-x) 2
+9(-x)=-x+6x 2
-9x функция общего вида. x=0 или x 2
+6x+9=0 D=0, уравнение имеет один корень. (0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х. y’=(x 3
+6x 2
+9x)’=3x 2
+12x+9 y’=0, т.е. 3x 2
+12x+9=0 сократим на 3 D>0, уравнение имеет 2 корня. x 1,2
=(-b±√D)/2a, x 1
=(-4+2)/2 , x 2
=(-4-2)/2 0 x=-4, y’=3*16-48+9=9>0 x=-2, y’=12-24+9=-3<0 x=0, y’=0+0+9=9>0 7) Найдем x min
и x max: 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(-1)=-1+6-9=-4 y max
=y(-3)=-27+54-27=0 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-4)=-64+96-36=-4 Пример 12.
Исследовать функцию y=x 2
/(x-2) и построить график y=x 2
/(x-2)=x+2+4/(x-2) Найдем асимптоты функции: y=x+2 – наклонная асимптота, т.к. Найдем область определения. 2)Определим вид функции. y(-x)=(-x) 2
/(-x-2)=x 2
/(-x-2), функция общего вида. 3)Найдем точки пересечения с осями. Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2
=(2x 2
-4x-x 2)/(x-2) 2
=(x(x-4))/(x-2) 2
=(x 2
-4x)/(x-2) 2 5) Определим критические точки: x 2
-4x=0 x(x-4)=0 y’=0, (x 2
-4x)/(x-2) 2
=0 <=> <=> (x-2) 2
≠ 0 x≠ 2 x 2
-4x=0, а (x-2) 2
≠ 0, т.е. х≠ 2 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции. x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0 x=1, y’=(1-4)/1=-3<0 x=3, y’=(9-12)/1=-3<0 x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0 7) Найдем точки минимума и максимума функции: 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(4)=16/2=8 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9 y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9 Пример 13.
Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x 2
+3) и построить график. 1) Найдем область определения функции: 2) Определим вид функции: y(-x)=(6(-x-1))/(x 2
+3)=-(6(x+1))/(x 2
-3) – функция общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y. (6(x-1))/(x 2
+3)=0 O x: y=0, <=> 4) Найдем производную функции: y’=(6(x-1)/(x 2
+3))’=6(x 2
+3-2x 2
+2x)/(x 2
+2) 2
=-6(x+1)(x-3)/(x 2
+3) 2 5) Определим критические точки: y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x 2
+3) 2
=0 y’=0, если х 1
=-1 или х 2
=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2
=-30/49<0 x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2
=2>0 x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2
=-30/361<0 7) Найдем точки минимума и максимума: 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3 y max
=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2 y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77 Пример 14.
Исследовать функцию y=xlnx и построить ее график: 1) Найдем область определения функции: D(y)=R +
(только положительные значения) 2) Определим вид функции: y(-x)=-xlnx - общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: O y
, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет. O x: y=0, то есть xlnx=0 x=0 или lnx=0 (1;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1 5) Определим критические точки: y’=0, то есть lnx +1=0 y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e– критическая точка. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: 1/e x=1/(2e); y’=log(2e) -1
+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0 x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0 7) 1/e – точка минимума функции. 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(1/e)=1/e ln e -1
=-1/e (≈ -0,4). 9) Построим график функции: Заключение. Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки. Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме. Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему. Список литературы.
1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983. 3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888. 4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974. 5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980. 6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993. Практическая работа №16 (естественно-научный профиль)
Тема: «Исследование функций с помощью производной»
Цели:
научиться проводить исследование функции с помощью производной и.строить графики функций; закрепить основные признаки возрастания (убывания) функции, условия существования точек экстремума; проводить исследование функции по графику производной.
Краткая теоретическая справка
1.
Находим
D(f)
функции
y
=
f
(
x
).
2.
Проверяем функцию на
четность.
Если
f
(-
x
) =
f
(
x
),
то функция
четная,
график функции симметричен относительно оси OY.
Если
f
(-
x
) = -
f
(
x
),
то функция
нечетная,
график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.
3.
Если функция
периодическая
, то находим период функции.
4.
Находим
точки пересечения графика с осями координат.
Находим
нули функции
-
это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (O
x
).
Для этого мы решаем уравнение
f
(
x
) = 0.
Находим
точку пересечения графика функции с осью ординат (O
y
).
Для этого ищем
значение функции
при
x
=0
.
5.
Находим
промежутки знакопостоянства функции
, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства
f
(
x
) >0
и
f
(
x
) <0
.
6.
Исследуем функцию с помощью производной: находим
промежутки возрастания и убывания
функции, а также
точки максимума и минимума
.
Для этого мы следуем привычному алгоритму.
а) Находим производную
б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения
Это стационарные точки.
в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых
производная положительна
, являются
промежутками возрастания функции
.
Промежутки, на которых
производная отрицательна
, являются
промежутками убывания функции
.
Точки, в которых
производная меняет знак с плюса на минус
, являются
точками максимума
.
Точки, в которых
производная меняет знак с минуса на плюс
, являются
точками минимума
.
7.
Найти
значения функции в точках экстремума.
8.
По данным исследования
построить график функции
.
Пример 1.
Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.
Решение.
1)
D
(f
):
R
2) Проверим функцию на чётность/нечётность: Значит, данная функция не является чётной или нечётной.
3) Функция непериодическая.
4) Нули функции.
С осью
О
y
: 5) Таким образом, на интервалах
график расположен
ниже оси абсцисс
f
(
x
)<0
, а на интервалах
– выше данной оси
f
(
x
) >0
.
6) Возрастание, убывание.
Найдём критические точки: Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной: точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»
.
точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».
8).
:
9) Строим график функции.
Пример 2.
, определенной на интервале
. В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение.
Решение.
На отрезке [-7;-3] график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что, то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке
x
=-7.
Ответ. -7.
Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Найти производную функции.
Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).
Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.
Вычислить значения
функции
(не производной!) в этих точках и на концах отрезка.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.
Пример 3.
Найдите наименьшее значение функции
y
=
x
3
– 18
x
2
+ 81
x
+ 23 на отрезке .
Решение:
действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
y’
= 3
x
2
– 36
x
+ 81.
y’
= 3
x
2
– 36
x
+ 81 = 0
x
2
– 12
x
+ 27 = 0,
x
= 3 и
x
= 9
x
= 9 .
y
=
x
3
– 18
x
2
+ 81
x
+ 23 =
x
(
x
-9)
2
+23:
y
(8) = 8 · (8-9)
2
+23 = 31;
y
(9) = 9 · (9-9)
2
+23 = 23;
y
(13) = 13 · (13-9)
2
+23 = 231.
Ответ.
;
Порядок выполнения работы.
Внимательно изучите теоретическую справку по теме.
Решите следующие задания по учебнику №9.40А(2в, 2г), №9.41Б(1в) , № 9.44А(2), №9.43А(6)
Выполните разбор примеров 3-7.
Пример 4.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Пример 5.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. Найдите количество точек экстремума функции
на отрезке
.
Пример 6.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. Найдите промежутки возрастания функции
. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Пример 7.
, определенной на интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Пример 8.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. Найдите количество точек максимума функции
на отрезке
.
Пример 9.
На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная функции
положительна.
Задание на дом:
№9.40А(2а,2б), №9.44А(1) №9.41Б(1а,1б) , № 9.44А(2)
№9.43А(1-5), №9.44А(3) №9.45А(1-4) №9.44А(9)
Выполните самостоятельно по вариантам.
Цель урока:
Научить проводить
исследование функций; строить их графики. Форма:
урок-беседа. Методы:
диалог, наглядные пособия и
слайды. Оборудование:
ИКТ, таблицы. Ход урока
I. Проверка домашнего задания. Учитель: - Ребята! У вас было домашнее задание
"Критические точки функции, максимумы и
минимумы". Дайте определение критической точки
функции. Ученик: - Критической точкой называется
внутренняя точка области определения, в которой
производная либо равна нулю, либо не существует. Учитель: - Как найти критические точки? Ученик: - 1 ) Найти производную функции; 2) Решить уравнение: f "(x)=0. Корни этого уравнения
являются критическими точками. Учитель: - Найдите критические точки функций: а) f(x)= 4 - 2x + 7x 2 б) f(x)= 4x - x 3 /3 а) 1) Найдем производную данной функции: f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x 2) Решим уравнение f "(x)=0 <=> -2+14x =0 <=> x=1/7 3) Так как уравнение f "(x)=0 имеет один корень, то
данная функция имеет одну критическую точку х =
1/7. б) 1) Найдем производную данной функции: f "(x)= 4 - x 2 2) Решим уравнение: f "(x)=0 <=> 4 - x 2 = 0 <=>
х = 2 или х = -2 3) Так как уравнение f "(x)=0 имеет два корня, то
данная функция имеет две критические точки х 1
= 2 и х 2 = -2 . II.
Устная работа.
Учитель: - Ребята! Повторим основные вопросы,
которые нужны для изучения новой темы. Для этого
рассмотрим таблицы с рисунками (приложение
1
). Укажите точки, в которых возрастание функции
сменяется убыванием. Как называются эти точки? Ученик: - На рисунке а) - точка К-это точка
максимума, на рисунке б) - точка М - это точка
максимума. Учитель: - Назовите точки минимума функции. Ученик: - Точка К на рисунке в) и г) - точка
минимума функции. Учитель: - Какие точки могут быть точками
экстремума функции? Ученик: - Критические точки могут быть точками
экстремума функции. Учитель: - Какие необходимые условия вы знаете? Ученик: - Существует теорема Ферма. Необходимое
условие экстремума:
Если точка х 0 является
точкой экстремума функции f и в этой точке
существует производная f ", то она равна нулю: f "(x)=0. Учитель: - Найдите критические точки для
функции: а) f(x) = | х | б) f(x) = 2х + | х | Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = | х | (приложение
2
). Эта функция не имеет производной в 0.
Значит, 0- критическая точка. Очевидно, что в точке
0 функция имеет минимум. Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = 2х + | х | (приложение 3
). По графику видно,
что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В
этой точке функция не имеет и производной. В самом деле, если предположить, что функция f
имеет в точке 0 производную, то f(х) - 2х также имеет
производную в 0. Но f(х) - 2х = | х |, а функция | х | в
точке 0 не дифференцируема, т.е. мы пришли к
противоречию. Значит, функция f в точке 0 производной не имеет. Учитель: - Из теоремы Ферма следует, что при
нахождении точек экстремума нужно найти
критические точки. Но из рассмотренных примеров
видно, что для того чтобы данная критическая
точка была точкой экстремума нужно еще какое-то
дополнительное условие. Какие достаточные условия существования
экстремума в точке вы знаете? Ученик: - Признак максимума функции
: Если
функция f непрерывна в точке х 0 , а f "(x)>0 на
интервале (а;х 0) и f "(x) <0 на интервале (х 0 ;
в), то точка х 0 является точкой максимума
функции f. То есть если в точке х 0 производная меняет
знак с плюса на минус, то х 0 есть точка
максимума. Ученик: - Признак минимума
: Если функция f
непрерывна в точке х 0 , а f "(x) <0 на
интервале (а;х 0) и f "(x) >0 на интервале (х 0 ;
в), то точка х 0 является точкой минимума
функции f. То есть если в точке х 0 производная меняет
знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка
минимума. Учитель: - А какой алгоритм нахождения точек
экстремума функции вы знаете. Ученик объясняет алгоритм исследования
функции f на экстремум с помощью производной (приложение 4
) и находит точки
экстремума функции: f (х)= x 4 -2х 2 D (f) =IR и f непрерывна на всей числовой прямой, как
целая рациональная функция. 2. f "(x) = 4x 3 -4х = 4х (х+1)(х-1). 3. f "(x)=0 <=> х= -1 V х=0 V х=1. Рис.1 (знаки f ") Так как f непрерывна в критических точках, то из
рисунка 1 (приложение 5
) видно,
что -1 и 1 - точки минимума, а 0 - точка максимума
функции f. f min = f (-1) = f (1) = -1, f max = f (0) =0. Учитель: - Ребята! Давайте вспомним алгоритм
отыскания промежутков монотонности функции f. Ученик вспоминает алгоритм отыскания
промежутков монотонности функции f (приложение
6
). Учитель: - Найти промежутки возрастания и
убывания функции f, заданной формулой f (x)= x 3 -12х Решение: 1. Так как f(x) - многочлен, то D (f) =IR. 2. Функция f дифференцируема на всей числовой
прямой и f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (х+2) (х-2). 3. Критическими точками функции f могут быть
только нули f "(x). f "(x) =0 <=> x = -2 V х=2. D (f)\ {-2; 2}= (-; -2) U (-2 ; 2) U (2; +). Рис.2 (знаки f "). Найти области определения и значений данной
функции f. Выяснить, обладает ли функция особенностями,
облегчающими исследование, то есть является ли
функция f: а) четной или нечетной; б) периодической. 3. Вычислить координаты точек пересечения
графика с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции f. 5. Выяснить, на каких промежутках функция f
возрастает, а на каких убывает. 6. Найти точки экстремума (максимум или минимум)
и вычислить значения f в этих точках. 7. Исследовать поведение функции f в окрестности
характерных точек не входящих в область
определения. 8. Построить график функции. Эта схема имеет примерный характер. Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x 5 -5х 3 +2
и построим ее график. Проведем исследование по указанной схеме: D (f ") =IR, так как f (x) - многочлен. Функция f не является ни четной, ни нечетной, так
как f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5х 3 +2= -(3x 5 -5х 3 -2) f(x) Найдем координаты точек пересечения графика с
осями координат: а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x 5 -5х 3 +2
= 0. Методом подбора можно найти один из корней (x = 1).
Другие корни могут быть найдены только
приближенно. Поэтому для данной функции
остальные точки пересечения графика с осью
абсцисс и промежутки знакопостоянства находить
не будем. б) с осью 0У: f(0)=2 Точка А (0; 2) - точка пересечения графика
функции с осью 0У. Отметили, что промежутки знакопостоянства не
будем находить. Найдем промежутки возрастания и убывания
функции а) f "(x)= 15x 4 -15х 2 = 15х 2 (х 2 -1) D (f ") =IR, поэтому критических точек которых f "(x)не
существует, нет. б) f "(x) = 0, если х 2 (х 2 -1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V
x = 1. в) Получим три критические точки, они разбивают
координатную прямую на четыре промежутка.
Определим знак производной на этих промежутках: Рис.3 (знаки f ") IV.
Закрепление новой темы.
Решение
задач
. Учитель: - Исследуйте функцию и постройте ее
график: f (x)= x 4 -2х 2 -3. Ученик: - 1) D (f) =R. 2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2х 2 -3;
f(-x)= f(x), значит, функция f является четной. Исследование
ее можно проводить на промежутке функция возрастает от
-
до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (x)=0
корней не имеет. б) На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет
корней, так как на этом промежутке функция
убывает от -4 до -31. в) На промежутке . 2. Найти значения функции в тех критических
точках, которые принадлежат интервалу (а; в). 3. Из найденных значений выбрать наибольшее и
наименьшее. Практическая часть зачета “Исследование функций с помощью
производной. Наибольшее и наименьшее значения
функций на отрезке” а) критические точки функций, б) экстремумы функций в) наибольшее и наименьшее значения функций на
указанном промежутке г) построить график. Точка называется точкой максимума (минимума)
функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
(рис. 25). Теорема 3.9 (необходимое условия существования точек экстремума).
В критических точках 1-го рода производная функции либо Критические точки 1-го рода принято называть просто критическими точками. Функция называется возрастающей
на некотором интервале , если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение переменной , и убывающей
, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение переменной . Для дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий. Теорема 3.10 (достаточное условие возрастания и убывания функции).
Если на некотором интервале функция дифференцируема и при этом ее производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале возрастает (убывает) Теорема 3.11 (достаточное условие существования точек экстремума функции).
Если функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума; если с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 1-го рода. Критические точки 1-го рода, в которых производная не существует, делятся на два класса: – точки, в которых функция непрерывна (при выполнении для них теоремы 3.11 функция в данных точках имеет «острый» экстремум), это угловые
точки; – точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс критических точек 2-го рода). Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на поставленный вопрос дает дальнейшее исследование функции с помощью второй производной. Дадим ряд необходимых определений. Функция называется выпуклой
(вогнутой
)
на некотором интервале , если касательная, проведенная к графику функции в каждой точке этого интервала, лежит выше (ниже) графика функции. Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции, называются ее точками перегиба
(рис. 27). Теорема 3.12 (необходимое условие существования точек перегиба)
. В критических точках 2-го рода вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует Для дальнейшего исследования критические точки 2-го рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий. Теорема 3.13 (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции).
Если на некотором интервале функция дважды дифференцируема и при этом ее вторая производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута (выпукла) Критические точки 2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на два класса: – точки, в которых функция непрерывна, это так называемые точки «острого» перегиба – в таких точках к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 28); – точки, в которых функция терпит разрыв (в точках разрыва 2-го рода график функции имеет вертикальную асимптоту). Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя координатами. Вопросы для самопроверки.
1. Какие точки называются точками экстремума (максимума и минимума) функции? 2. Какая функция называется возрастающей (убывающей)? 3. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума функции? 4. В чем состоит достаточное условие возрастания (убывания) функции? 5. Какие точки называются точками перегиба функции? 6. Какая функция называется выпуклой (вогнутой)? 7. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек перегиба функции? 8. В чем состоит достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции?
-4
x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота
0 8
-3 2
Чтобы найти точки пересечения с осью
Ox
(нули функции) требуется решить уравнение
f
(
x
) = 0
:
1
Следовательно, функция возрастает на
и убывает на
.
7). Экстремумы функции
.
1. у=(х-3) 2 (х-2).
11. у=2х 4 -х.
[-1;1]
2. у=1/3х 3 +х 2
[-4;1]
12. у=х 2 -2/х.
[-3;-0,5]
3. у=1/3х 3 -х 2 -3х
[-2;6]
13. у=1/(х 2 +1).
[-1;2]
4. у=-1/4х 4 +2х 2 +1.
[-3;3]
14. у=3х-х 3 .
[-1,5;1,5]
5. у=х 4 -8х 2 -9.
[-3;3]
15. у=2х 2 -х 4 .
[-2;1,5]
6. у=(х-2)(х+1) 2 .
[-1,5;1,5]
16. у=3х 2/3 -х 2 .
[-8;8]
7. у=-2/3х 3 +2х-4/3.
[-1,5;1,5]
17. у=3х 1/3 -х.
[-8;8]
8. у=3х 5 -5х 4 +4.
[-1;1]
18. у=х 3 -1,5х 2 -6х+4.
[-2;3]
9. у=9х 2 -9х 3 .
[-0,5;1]
19. у=(1-х)/(х 2 +3).
[-2;5]
10. у=1/3х 3 -4х.
[-3;3]
20. у= -х 4 +2х 2 +3.
[-0,5;2]
(
).
равна нулю, либо не существует
Критические точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками стационарности
. Критические точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема называются угловыми точками
. Например, функция в точке непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 26). Данный случай можно рассматривать в качестве подтверждения тому, что обратное утверждение к теореме 3.3 является неверным.
Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода.
