Kung wala kang compass, maaari kang gumuhit ng isang simpleng bituin na may limang sinag at pagkatapos ay ikonekta lamang ang mga sinag na ito. Tulad ng makikita mo sa larawan sa ibaba, ang isang ganap na regular na pentagon ay nakuha.
Ang matematika ay isang kumplikadong agham at mayroon itong maraming mga lihim, na ang ilan ay medyo nakakatawa. Kung interesado ka sa mga ganitong bagay, ipinapayo ko sa iyo na hanapin ang librong Fun Math.
Ang isang bilog ay maaaring iguhit hindi lamang gamit ang isang kumpas. Maaari kang, halimbawa, gumamit ng lapis at sinulid. Sinusukat namin ang kinakailangang diameter sa thread. Ikinapit namin nang mahigpit ang isang dulo sa isang sheet ng papel kung saan kami ay gumuhit ng isang bilog. At sa kabilang dulo ng thread, mag-install ng lapis at ikabit ito. Ngayon ito ay gumagana tulad ng sa isang compass: hinila namin ang thread at, bahagyang pinindot gamit ang isang lapis, markahan ang bilog sa paligid ng circumference.
Sa loob ng bilog ay gumuhit kami ng mga magsasaka mula sa gitna: isang patayong linya at isang pahalang na linya. Ang intersection point ng patayong linya at bilog ang magiging vertex ng pentagon (point 1). Ngayon hinati namin ang kanang kalahati ng pahalang na linya sa kalahati (punto 2). Sinusukat namin ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa vertex ng pentagon at inilalagay ang segment na ito sa kaliwa ng point 2 (point 3). Gamit ang isang thread at isang lapis, gumuhit ng isang arko mula sa punto 1 na may radius hanggang sa punto 3, intersecting ang unang bilog sa kaliwa at kanan - ang mga intersection point ay ang mga vertices ng pentagon. Tawagin natin silang puntos 4 at 5.
Ngayon mula sa punto 4 gumawa kami ng isang arko na intersecting sa bilog sa ibaba, na may radius na katumbas ng haba mula sa punto 1 hanggang 4 - ito ay magiging punto 6. Sa parehong paraan mula sa punto 5 - itatalaga namin ito bilang punto 7.
Ang natitira na lang ay ikonekta ang ating pentagon sa mga vertices 1, 5, 7, 6, 4.
Alam ko kung paano bumuo ng isang simpleng pentagon gamit ang isang compass: Bumuo ng isang bilog, markahan ang limang puntos, ikonekta ang mga ito. Maaari tayong bumuo ng isang pentagon na may pantay na panig; Pareho lang ang 5 points namin sa protractor. Upang gawin ito, markahan ang mga anggulo sa 72 degrees. Pagkatapos ay kumonekta din kami sa mga segment at makuha ang figure na kailangan namin.
Ang berdeng bilog ay maaaring iguhit na may di-makatwirang radius. Magsusulat kami ng isang regular na pentagon sa bilog na ito. Imposibleng gumuhit ng eksaktong bilog na walang compass, ngunit hindi ito kinakailangan. Ang bilog at lahat ng karagdagang constructions ay maaaring gawin sa pamamagitan ng kamay. Susunod, sa gitna ng bilog O, kailangan mong gumuhit ng dalawang magkaparehong patayo na mga tuwid na linya at italaga ang isa sa mga punto ng intersection ng linya na may bilog bilang A. Point A ang magiging vertex ng pentagon. Hinahati namin ang radius OB sa kalahati at ilagay ang punto C. Mula sa punto C gumuhit kami ng pangalawang bilog na may radius AC. Mula sa punto A gumuhit kami ng ikatlong bilog na may radius AD. Ang mga intersection point ng ikatlong bilog na may una (E at F) ay magiging vertices din ng pentagon. Mula sa mga puntong E at F na may radius AE, gumawa kami ng mga notch sa unang bilog at makuha ang natitirang mga vertex ng pentagon G at H.
Mga tagasunod ng itim na sining: upang simple, maganda at mabilis na gumuhit ng isang pentagon, dapat mong iguhit ang tama, magkatugma na batayan para sa pentagram (five-pointed star) at ikonekta ang mga dulo ng mga sinag ng bituin na ito gamit ang tuwid, pantay na mga linya. Kung ang lahat ay ginawa nang tama, ang linya ng pagkonekta sa paligid ng base ay ang nais na pentagon.
(sa larawan ay may nakumpleto ngunit hindi napunong pentagram)
Para sa mga hindi sigurado sa tama ng pentagram: kunin ang Vitruvian Man ni Da Vinci bilang batayan (tingnan sa ibaba)
Kung kailangan mo ng pentagon, random na sumundot ng 5 puntos at ang kanilang panlabas na tabas ay magiging isang pentagon.
Kung kailangan mo ng isang regular na pentagon, kung walang isang mathematical compass ang konstruksiyon na ito ay hindi makukumpleto, dahil kung wala ito imposibleng gumuhit ng dalawang magkapareho, ngunit hindi magkatulad, mga segment. Anumang ibang tool na nagbibigay-daan sa iyong gumuhit ng dalawang magkapareho ngunit hindi magkatulad na mga segment ay katumbas ng isang mathematical compass.
Una kailangan mong gumuhit ng isang bilog, pagkatapos ay gabayan, pagkatapos ay isang pangalawang tuldok na bilog, hanapin ang tuktok na punto, pagkatapos ay sukatin ang dalawang itaas na sulok, iguhit ang mga mas mababa mula sa kanila. Tandaan na ang radius ng compass ay pareho sa buong construction.
Ang lahat ay nakasalalay sa kung anong uri ng pentagon ang kailangan mo. Kung mayroon man, pagkatapos ay maglagay ng limang tuldok at ikonekta ang mga ito sa isa't isa (siyempre hindi namin inilalagay ang mga tuldok sa isang tuwid na linya). At kung kailangan mo ng isang pentagon ng tamang hugis, kumuha ng anumang limang kasama ang haba (mga piraso ng papel, posporo, lapis, atbp.), Ilatag ang pentagon at balangkasin ito.
Ang isang pentagon ay maaaring iguguhit, halimbawa, mula sa isang bituin. Kung alam mo kung paano gumuhit ng isang bituin, ngunit hindi alam kung paano gumuhit ng isang pentagon, gumuhit ng isang bituin gamit ang isang lapis, pagkatapos ay ikonekta ang mga katabing dulo ng bituin, at pagkatapos ay burahin ang bituin mismo.
Pangalawang paraan. Gupitin ang isang strip ng papel na may haba na katumbas ng nais na gilid ng pentagon, at isang makitid na lapad, sabihin 0.5 - 1 cm Alinsunod sa template, gupitin ang apat na katulad na mga piraso sa kahabaan ng strip na ito upang mayroong 5 sa kanila sa kabuuan.
Pagkatapos ay maglagay ng isang sheet ng papel (mas mahusay na i-secure ito sa mesa na may apat na mga pindutan o karayom). Pagkatapos ay ilagay ang 5 guhit na ito sa piraso ng papel upang makabuo sila ng isang pentagon. I-pin ang 5 strip na ito sa isang piraso ng papel na may mga pin o karayom upang manatiling hindi gumagalaw ang mga ito. Pagkatapos ay bilugan ang nagresultang pentagon at alisin ang mga guhit na ito mula sa sheet.
Kung wala kang compass at kailangan mong bumuo ng pentagon, maaari kong payuhan ang mga sumusunod. Ako mismo ang nagtayo nito sa ganoong paraan. Maaari kang gumuhit ng isang regular na limang-tulis na bituin. At pagkatapos nito, upang makakuha ng isang pentagon, kailangan mo lamang ikonekta ang lahat ng mga vertex ng bituin. Ito ay kung paano ka makakakuha ng isang pentagon. Ito ang nakukuha natin
Ikinonekta namin ang mga vertice ng bituin na may mga tuwid na itim na linya at nakakuha ng pentagon.
Regular na pentagon(Griyego πενταγωνον ) - isang geometric na pigura, isang regular na polygon na may limang panig.
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Mabilis sa kalahating kadiliman ay binuwag nila ang mga kabayo, hinigpitan ang mga kabilugan at inayos ang mga koponan. Tumayo si Denisov sa guardhouse, na nagbigay ng mga huling utos. Ang impanterya ng partido, na humahampas ng isang daang talampakan, ay nagmartsa pasulong sa kalsada at mabilis na naglaho sa pagitan ng mga puno sa madaling araw na ulap. May iniutos si Esaul sa mga Cossack. Hinawakan ni Petya ang kanyang kabayo sa renda, naiinip na naghihintay ng utos na umakyat. Hinugasan ng malamig na tubig, ang kanyang mukha, lalo na ang kanyang mga mata, ay nasusunog sa apoy, ang lamig ay dumaloy sa kanyang likuran, at may kung ano sa kanyang buong katawan na nanginginig nang mabilis at pantay.
- Buweno, handa na ba ang lahat para sa iyo? - sabi ni Denisov. - Ibigay sa amin ang mga kabayo.
Pinapasok ang mga kabayo. Nagalit si Denisov sa Cossack dahil mahina ang mga girth, at, pinagalitan siya, naupo. Hinawakan ni Petya ang estribo. Ang kabayo, dahil sa ugali, ay gustong kumagat sa kanyang binti, ngunit si Petya, na hindi naramdaman ang kanyang bigat, ay mabilis na tumalon sa saddle at, tumingin pabalik sa mga hussars na lumilipat sa likuran sa kadiliman, sumakay kay Denisov.
- Vasily Fedorovich, ipagkakatiwala mo ba sa akin ang isang bagay? Please... for God's sake... - sabi niya. Tila nakalimutan ni Denisov ang tungkol sa pagkakaroon ni Petya. Tumingin siya pabalik sa kanya.
"Isang bagay ang hinihiling ko sa iyo," matigas niyang sabi, "upang sundin ako at huwag makialam saanman."
Sa buong paglalakbay, hindi nagsalita si Denisov kay Petya at tahimik na sumakay. Pagdating namin sa gilid ng kagubatan, kapansin-pansing nagsimula nang lumiwanag ang bukid. Nagsalita si Denisov nang pabulong kasama ang esaul, at nagsimulang magmaneho ang Cossacks lampas kina Petya at Denisov. Nang makalampas na silang lahat, pinaandar ni Denisov ang kanyang kabayo at sumakay pababa. Nakaupo sa kanilang likuran at dumudulas, ang mga kabayo ay bumaba kasama ang kanilang mga sakay sa bangin. Sumakay si Petya sa tabi ni Denisov. Lalong lumakas ang panginginig sa buong katawan niya. Ito ay naging mas magaan at mas magaan, tanging ang hamog lamang ang nagtago ng mga malalayong bagay. Bumaba at lumingon sa likod, tumango si Denisov sa Cossack na nakatayo sa tabi niya.
- Signal! - sabi niya.
Itinaas ng Cossack ang kanyang kamay at umalingawngaw ang isang putok. At sa parehong sandali, ang padyak ng mga tumatakbong kabayo ay narinig sa harap, mga hiyawan mula sa iba't ibang panig at marami pang mga putok.
Kasabay ng mga unang tunog ng pagtapak at pagsigaw ay narinig, si Petya, na tinamaan ang kanyang kabayo at pinakawalan ang mga bato, hindi nakikinig kay Denisov, na sumisigaw sa kanya, ay tumakbo pasulong. Tila kay Petya na biglang sumikat na kasingliwanag ng kalagitnaan ng araw sa sandaling iyon nang marinig ang putok. Tumakbo siya patungo sa tulay. Ang mga Cossack ay tumakbo sa unahan ng kalsada. Sa tulay ay nakatagpo siya ng isang nahuhuling Cossack at sumakay. Ang ilang mga tao sa unahan - malamang na sila ay Pranses - ay tumatakbo mula sa kanang bahagi ng kalsada sa kaliwa. Ang isa ay nahulog sa putik sa ilalim ng mga paa ng kabayo ni Petya.
Nagsisiksikan ang mga Cossack sa isang kubo, may ginagawa. Isang nakakatakot na hiyawan ang narinig mula sa gitna ng karamihan. Tumakbo si Petya sa pulutong na ito, at ang una niyang nakita ay ang maputlang mukha ng isang Pranses na may nanginginig na ibabang panga, na nakahawak sa baras ng isang sibat na nakatutok sa kanya.
“Hurray!.. Guys... ours...” sigaw ni Petya at, binigay ang renda sa sobrang init na kabayo, tumakbo pasulong sa kalsada.
Narinig ang mga putok sa unahan. Ang mga Cossack, hussars at gulanit na mga bilanggo ng Russia, na tumatakbo mula sa magkabilang gilid ng kalsada, ay sumisigaw ng isang bagay nang malakas at alanganin. Isang guwapong Pranses, na walang sumbrero, na may pula, nakasimangot na mukha, sa isang asul na kapote, ay lumaban sa mga hussar gamit ang isang bayoneta. Nang humakbang si Petya, nahulog na ang Pranses. Huli na naman ako, umilaw si Petya sa kanyang ulo, at tumakbo siya papunta sa kung saan naririnig ang madalas na mga putok. Umalingawngaw ang mga putok sa looban ng manor house kung saan kasama niya si Dolokhov kagabi. Ang mga Pranses ay nakaupo doon sa likod ng isang bakod sa isang siksik na hardin na tinutubuan ng mga palumpong at pinaputok ang mga Cossacks na masikip sa tarangkahan. Paglapit sa tarangkahan, si Petya, sa usok ng pulbos, ay nakita si Dolokhov na may maputla, maberde na mukha, na sumisigaw ng isang bagay sa mga tao. “Lumabas ka! Hintayin ang infantry!" - sigaw niya, habang si Petya ay nagmaneho papunta sa kanya.
“Teka?.. Hurray!..” sigaw ni Petya at, walang pag-aalinlangan ng isang minuto, tumakbo siya papunta sa lugar kung saan narinig ang mga putok at kung saan mas makapal ang usok ng pulbos. Isang volley ang narinig, tumili ang mga basyo ng bala at may tinamaan. Ang mga Cossacks at Dolokhov ay sumugod kay Petya sa mga pintuan ng bahay. Ang mga Pranses, sa umuuga na makapal na usok, ang ilan ay naghagis ng kanilang mga sandata at tumakbo palabas ng mga palumpong upang salubungin ang mga Cossacks, ang iba ay tumakbo pababa sa lawa. Si Petya ay tumakbo sa kanyang kabayo sa kahabaan ng bakuran ng asyenda at, sa halip na hawakan ang mga bato, kakaiba at mabilis na iwinagayway ang magkabilang braso at bumagsak papalayo sa siyahan sa isang tabi. Ang kabayo, na tumatakbo sa apoy na nagbabaga sa liwanag ng umaga, ay nagpahinga, at si Petya ay nahulog nang husto sa basang lupa. Nakita ng mga Cossacks kung gaano kabilis ang pagkibot ng kanyang mga braso at binti, sa kabila ng katotohanang hindi gumagalaw ang kanyang ulo. Tumagos ang bala sa kanyang ulo.
Matapos makipag-usap sa senior na opisyal ng Pranses, na lumabas sa kanya mula sa likod ng bahay na may scarf sa kanyang espada at inihayag na sila ay sumuko, si Dolokhov ay bumaba sa kanyang kabayo at lumapit kay Petya, na nakahiga nang hindi gumagalaw, na nakaunat ang kanyang mga braso.
"Handa," sabi niya, nakasimangot, at dumaan sa gate upang salubungin si Denisov, na papalapit sa kanya.
- Pinatay?! - Sumigaw si Denisov, na nakikita mula sa malayo ang pamilyar, walang alinlangan na walang buhay na posisyon kung saan nakahiga ang katawan ni Petya.
"Handa," ulit ni Dolokhov, na para bang ang pagbigkas ng salitang ito ay nagbigay sa kanya ng kasiyahan, at mabilis na pumunta sa mga bilanggo, na napapalibutan ng mga bumababa na Cossacks. - Hindi namin ito kukunin! – sigaw niya kay Denisov.
5.3. Gintong Pentagon; pagtatayo ng Euclid.
Ang isang kahanga-hangang halimbawa ng "golden ratio" ay isang regular na pentagon - convex at hugis-bituin (Larawan 5).
Upang bumuo ng isang pentagram, kailangan mong bumuo ng isang regular na pentagon.
Hayaang O ang sentro ng bilog, A ang punto sa bilog, at E ang gitnang punto ng segment na OA. Ang patayo sa radius OA, na naibalik sa punto O, ay nagsalubong sa bilog sa punto D. Gamit ang isang compass, i-plot ang segment CE = ED sa diameter. Ang haba ng gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa isang bilog ay katumbas ng DC. I-plot namin ang mga segment na DC sa bilog at kumuha ng limang puntos upang gumuhit ng regular na pentagon. Ikinonekta namin ang mga sulok ng pentagon sa isa't isa na may mga diagonal at kumuha ng pentagram. Ang lahat ng mga diagonal ng pentagon ay nahahati sa bawat isa sa mga segment na konektado ng gintong ratio.
Ang bawat dulo ng pentagonal na bituin ay kumakatawan sa isang gintong tatsulok. Ang mga gilid nito ay bumubuo ng isang anggulo ng 36 ° sa tuktok, at ang base, na inilatag sa gilid, hinahati ito sa proporsyon ng gintong ratio.
Mayroon ding gintong cuboid - ito ay isang parihabang parallelepiped na may mga gilid na may haba na 1.618, 1 at 0.618.
Ngayon isaalang-alang ang patunay na inaalok ni Euclid sa Elements.
| |
mula sa gitna ng circumscribed circle. Magsimula tayo sa
segment ABE, hinati sa mean at
Kaya hayaan ang AC=AE. Tukuyin natin sa pamamagitan ng isang pantay na anggulo ang EBC at CEB. Dahil AC=AE, ang anggulong ACE ay katumbas din ng a. Ang theorem na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang anggulo LAHAT: ito ay katumbas ng 180-2a, at ang anggulo EAC ay 3a - 180. Ngunit pagkatapos ay ang anggulo ABC ay katumbas ng 180-a . Pagbubuod ng mga anggulo ng tatsulok na ABC na nakukuha natin,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Kung saan ang 5a=360 ay nangangahulugang a=72.
Kaya, ang bawat isa sa mga base na anggulo ng tatsulok na WEIGHT ay dalawang beses ang vertex angle, na 36 degrees. Samakatuwid, upang makabuo ng isang regular na pentagon, kailangan mo lamang gumuhit ng anumang bilog na may sentro sa punto E, intersecting EC sa punto X at gilid EB sa punto Y: ang segment XY ay nagsisilbing isa sa mga gilid ng isang regular na pentagon na nakasulat sa bilog; Sa pamamagitan ng paglibot sa buong bilog, mahahanap mo ang lahat ng iba pang panig.
Patunayan natin ngayon na AC = AE. Ipagpalagay na ang vertex C ay konektado ng isang segment ng linya sa gitnang N ng segment BE. Tandaan na dahil CB = CE, tama ang anggulong CNE. Ayon sa Pythagorean theorem:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Kaya mayroon tayong (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Kaya, AC = ja = jAB = AE, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan
5.4. spiral ni Archimedes.
Patuloy na pinuputol ang mga parisukat mula sa mga ginintuang parihaba at infinitum, sa bawat oras na kumokonekta sa magkasalungat na mga punto na may isang quarter na bilog, nakakakuha tayo ng medyo eleganteng kurba. Ang unang nakakuha ng pansin dito ay ang sinaunang siyentipikong Griyego na si Archimedes, na ang pangalan ay taglay nito. Pinag-aralan niya ito at nakuha ang equation ng spiral na ito.
Sa kasalukuyan, ang Archimedes spiral ay malawakang ginagamit sa teknolohiya.
6. Fibonacci numero.
Ang pangalan ng Italyano na matematiko na si Leonardo mula sa Pisa, na mas kilala sa kanyang palayaw na Fibonacci (Fibonacci - pinaikling filius Bonacci, iyon ay, ang anak ni Bonacci), ay hindi direktang konektado sa gintong ratio.
Noong 1202 isinulat niya ang aklat na "Liber abacci", iyon ay, "The Book of Abacus". Ang "Liber abacci" ay isang napakaraming akda na naglalaman ng halos lahat ng aritmetika at algebraic na impormasyon noong panahong iyon at may mahalagang papel sa pag-unlad ng matematika sa Kanlurang Europa sa susunod na ilang siglo. Sa partikular, mula sa aklat na ito nakilala ng mga Europeo ang mga numerong Hindu ("Arabic").
Ang materyal na iniulat sa aklat ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng isang malaking bilang ng mga problema na bumubuo ng isang mahalagang bahagi ng treatise na ito.
Isaalang-alang natin ang isang ganoong problema:
"Ilang pares ng kuneho ang ipinanganak mula sa isang pares sa isang taon?
Ang isang tao ay naglagay ng isang pares ng mga kuneho sa isang tiyak na lugar, na nabakuran sa lahat ng panig ng isang pader, upang malaman kung gaano karaming mga pares ng mga kuneho ang isisilang sa taong ito, kung ang likas na katangian ng mga kuneho ay tulad na sa isang buwan isang pares ng ang mga kuneho ay magpaparami ng isa pa, at ang mga kuneho ay manganganak mula sa ikalawang buwan pagkatapos ng kanilang kapanganakan."
| mga buwan | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Mga pares ng kuneho | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Lumipat tayo ngayon mula sa mga kuneho patungo sa mga numero at isaalang-alang ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng numero:
u 1 , u 2 … u n
kung saan ang bawat termino ay katumbas ng kabuuan ng naunang dalawa, i.e. para sa anumang n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Ang pagkakasunud-sunod na ito ay asymptotically (lumalapit nang mas mabagal at mas mabagal) ay may posibilidad na may pare-parehong kaugnayan. Gayunpaman, ang ratio na ito ay hindi makatwiran, iyon ay, ito ay isang numero na may walang katapusan, hindi mahuhulaan na pagkakasunud-sunod ng mga decimal na digit sa fractional na bahagi. Imposibleng ipahayag ito nang tumpak.
Kung ang alinmang termino ng Fibonacci sequence ay hinati sa hinalinhan nito (halimbawa, 13:8), ang magiging resulta ay isang value na pabagu-bago sa paligid ng hindi makatwirang halaga na 1.61803398875... at minsan ay lumalampas dito, minsan ay hindi umabot dito.
Ang asymptotic na pag-uugali ng pagkakasunud-sunod at ang damped oscillations ng ratio nito sa paligid ng hindi makatwirang numero Ф ay maaaring maging mas maliwanag kung ipapakita natin ang mga ratio ng unang ilang termino ng pagkakasunud-sunod. Ipinapakita ng halimbawang ito ang mga ugnayan ng ikalawang termino sa una, ang ikatlo sa pangalawa, ang ikaapat sa ikatlo, at iba pa:
1:1 = 1.0000, na mas mababa sa phi ng 0.6180
2:1 = 2.0000, na 0.3820 higit pa sa phi
3:2 = 1.5000, na mas mababa sa phi ng 0.1180
5:3 = 1.6667, na 0.0486 higit pa sa phi
8:5 = 1.6000, na mas mababa sa phi ng 0.0180
Sa paglipat mo sa Fibonacci summation sequence, hahatiin ng bawat bagong termino ang susunod na may mas malaki at mas malaking approximation sa hindi maabot na F.
Ang tao ay subconsciously naghahanap ng Banal na proporsyon: ito ay kinakailangan upang masiyahan ang kanyang pangangailangan para sa kaginhawahan.
Kapag hinahati ang sinumang miyembro ng Fibonacci sequence sa susunod, ang resulta ay kabaligtaran lamang ng 1.618 (1: 1.618 = 0.618). Ngunit ito rin ay isang napaka-pangkaraniwan, kahit na kapansin-pansing kababalaghan. Dahil ang orihinal na ratio ay isang walang katapusang fraction, ang ratio na ito ay dapat ding walang katapusan.
Kapag hinahati ang bawat numero sa susunod na isa pagkatapos nito, nakukuha natin ang numerong 0.382
Ang pagpili ng mga ratio sa ganitong paraan, makuha natin ang pangunahing hanay ng mga ratio ng Fibonacci: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Banggitin din natin ang lahat ng ito sa kalikasan at partikular sa teknikal na pagsusuri.
Dapat pansinin dito na ipinaalala lamang ni Fibonacci sa sangkatauhan ang kanyang pagkakasunud-sunod, dahil kilala ito noong sinaunang panahon sa ilalim ng pangalang Golden Ratio.
Ang ginintuang ratio, tulad ng nakita natin, ay lumitaw na may kaugnayan sa isang regular na pentagon, samakatuwid ang mga numero ng Fibonacci ay may papel sa lahat ng bagay na may kinalaman sa mga regular na pentagon - matambok at hugis-bituin.
Ang serye ng Fibonacci ay maaaring nanatili lamang sa isang matematikal na insidente, kung hindi para sa katotohanan na ang lahat ng mga mananaliksik ng gintong dibisyon sa mundo ng halaman at hayop, hindi banggitin ang sining, ay palaging dumating sa seryeng ito bilang isang aritmetika na pagpapahayag ng batas ng ginintuang dibisyon. Patuloy na aktibong binuo ng mga siyentipiko ang teorya ng mga numero ng Fibonacci at ang gintong ratio. Yu. Ang mga eleganteng pamamaraan ay umuusbong para sa paglutas ng ilang mga problema sa cybernetic (teorya sa paghahanap, laro, programming) gamit ang mga numero ng Fibonacci at ang ginintuang ratio. Sa USA, kahit na ang Mathematical Fibonacci Association ay nilikha, na naglalathala ng isang espesyal na journal mula noong 1963.
Isa sa mga tagumpay sa larangang ito ay ang pagtuklas ng mga pangkalahatang numero ng Fibonacci at mga pangkalahatang gintong ratio. Ang serye ng Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) at ang "binary" na serye ng mga numero na natuklasan niya 1, 2, 4, 8, 16... (iyon ay, isang serye ng mga numero hanggang sa n , kung saan ang anumang natural na numerong mas mababa sa n ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng ilang numero sa seryeng ito) ay ganap na naiiba sa unang tingin. Ngunit ang mga algorithm para sa kanilang pagtatayo ay halos kapareho sa bawat isa: sa unang kaso, ang bawat numero ay ang kabuuan ng nakaraang numero na may sarili nitong 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., sa pangalawa - ito ang kabuuan ng dalawang naunang numero 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Posible bang makahanap ng pangkalahatan mathematical formula kung saan kami kumukuha ng “ binary series at Fibonacci series?
Sa katunayan, tukuyin natin ang isang numerical parameter na S, na maaaring tumagal ng anumang mga halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Isaalang-alang ang isang serye ng numero, S + 1 ng mga unang termino kung saan ay isa, at bawat isa sa ang mga kasunod ay katumbas ng kabuuan ng dalawang termino ng nauna at pinaghihiwalay mula sa nauna ng S hakbang. Kung tinutukoy natin ang ika-n na termino ng seryeng ito sa pamamagitan ng S (n), makukuha natin ang pangkalahatang formula na S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Malinaw na sa S = 0 mula sa formula na ito makakakuha tayo ng isang "binary" na serye, sa S = 1 - isang Fibonacci series, sa S = 2, 3, 4 - bagong serye ng mga numero, na tinatawag na S-Fibonacci na mga numero. .
Sa pangkalahatan, ang golden S-proportion ay ang positibong ugat ng golden S-section equation x S+1 – x S – 1 = 0.
Madaling ipakita na sa S = 0 ang segment ay nahahati sa kalahati, at sa S = 1 ang pamilyar na classical golden ratio ay nakuha.
Ang mga ratio ng mga kalapit na Fibonacci S-number ay nag-tutugma sa ganap na katumpakan ng matematika sa limitasyon sa mga gintong S-proporsyon! Ibig sabihin, ang mga gintong S-section ay mga numerical invariant ng Fibonacci S-numbers.
7.Golden ratio sa sining.
7.1. Golden ratio sa pagpipinta.
Ang paglipat sa mga halimbawa ng "gintong ratio" sa pagpipinta, hindi maaaring hindi tumutok ang isang tao sa gawain ni Leonardo da Vinci. Ang kanyang pagkatao ay isa sa mga misteryo ng kasaysayan. Si Leonardo da Vinci mismo ang nagsabi: "Huwag hayaan ang sinuman na hindi isang matematiko na mangahas na basahin ang aking mga gawa."
Walang alinlangan na si Leonardo da Vinci ay isang mahusay na artista, nakilala na ito ng kanyang mga kontemporaryo, ngunit ang kanyang personalidad at aktibidad ay mananatiling nababalot ng misteryo, dahil iniwan niya sa kanyang mga inapo ang hindi isang magkakaugnay na pagtatanghal ng kanyang mga ideya, ngunit maraming sulat-kamay lamang. sketches, mga tala na nagsasabing "tungkol sa lahat ng tao sa mundo."
Ang larawan ni Monna Lisa (La Gioconda) ay nakakuha ng atensyon ng mga mananaliksik sa loob ng maraming taon, na natuklasan na ang komposisyon ng larawan ay batay sa mga gintong tatsulok, na mga bahagi ng isang regular na hugis-bituin na pentagon.
Gayundin, lumilitaw ang proporsyon ng gintong ratio sa pagpipinta ni Shishkin. Sa sikat na pagpipinta na ito ni I. I. Shishkin, ang mga motif ng golden ratio ay malinaw na nakikita. Hinahati ng maliwanag na sikat ng araw na pine tree (nakatayo sa harapan) ang haba ng larawan ayon sa golden ratio. Sa kanan ng pine tree ay isang burol na naliliwanagan ng araw. Hinahati nito ang kanang bahagi ng larawan nang pahalang ayon sa gintong ratio.
Sa pagpipinta ni Raphael na "The Massacre of the Innocents" isa pang elemento ng gintong proporsyon ang makikita - ang gintong spiral. Sa paghahanda ng sketch ni Raphael, ang mga pulang linya ay iginuhit na tumatakbo mula sa sentro ng semantiko ng komposisyon - ang punto kung saan ang mga daliri ng mandirigma ay nakasara sa bukong-bukong ng bata - kasama ang mga pigura ng bata, ang babaeng nakahawak sa kanya nang malapit, ang mandirigma na may kanyang espada na nakataas, at pagkatapos ay kasama ang mga figure ng parehong grupo sa kanang bahagi ng sketch. Hindi alam kung ginawa ni Raphael ang gintong spiral o naramdaman ito.
Ginamit ni T. Cook ang golden ratio noong sinusuri ang painting ni Sandro Botticelli na "The Birth of Venus."
7.2. Pyramids ng gintong ratio.
Ang mga medikal na katangian ng mga pyramids, lalo na ang ginintuang ratio, ay malawak na kilala. Ayon sa ilan sa mga pinaka-karaniwang opinyon, ang silid kung saan matatagpuan ang naturang pyramid ay tila mas malaki at ang hangin ay mas transparent. Ang mga panaginip ay nagsisimulang mas maalala. Alam din na ang golden ratio ay malawakang ginagamit sa arkitektura at iskultura. Ang isang halimbawa nito ay: ang Pantheon at Parthenon sa Greece, mga gusali ng mga arkitekto na sina Bazhenov at Malevich
8. Konklusyon.
Dapat sabihin na ang golden ratio ay may mahusay na aplikasyon sa ating buhay.
Napatunayan na ang katawan ng tao ay nahahati sa proporsyon sa gintong ratio ng linya ng sinturon.
Ang nautilus shell ay baluktot na parang ginintuang spiral.
Salamat sa ginintuang ratio, natuklasan ang asteroid belt sa pagitan ng Mars at Jupiter - ayon sa proporsyon, dapat mayroong isa pang planeta doon.
Ang kapana-panabik na string sa puntong hinahati ito kaugnay sa gintong dibisyon ay hindi magiging sanhi ng pag-vibrate ng string, iyon ay, ito ang compensation point.
Sa sasakyang panghimpapawid na may mga mapagkukunan ng electromagnetic na enerhiya, ang mga hugis-parihaba na selula na may proporsyon ng ginintuang ratio ay nilikha.
Ang Mona Lisa ay itinayo sa mga ginintuang tatsulok;
Ang proporsyon ay natuklasan sa pagpipinta ni Sandro Botticelli na "The Birth of Venus"
Maraming kilalang monumento ng arkitektura na itinayo gamit ang gintong ratio, kabilang ang Pantheon at Parthenon sa Athens, mga gusali ng mga arkitekto na sina Bazhenov at Malevich.
Si John Kepler, na nabuhay limang siglo na ang nakalilipas, ay nagsabi: "Ang geometry ay may dalawang dakilang kayamanan.
Mga sanggunian
1. D. Pidou. Geometry at sining. – M.: Mir, 1979.
2. Magazine na "Science and Technology"
3. Magasin na "Quantum", 1973, No. 8.
4. Magasin na "Mathematics at School", 1994, No. 2; No. 3.
5. Kovalev F.V. Golden ratio sa pagpipinta. K.: Vyshcha School, 1989.
6. Stakhov A. Mga code ng ginintuang proporsyon.
7. Vorobiev N.N. "Mga numero ng Fibonacci" - M.: Nauka 1964
8. "Mathematics - Encyclopedia for Children" M.: Avanta +, 1998
9. Impormasyon mula sa Internet.
Fibonacci matrices at ang tinatawag na "golden" matrice, bagong computer arithmetic, bagong coding theory at bagong cryptography theory. Ang kakanyahan ng bagong agham ay upang baguhin ang lahat ng matematika mula sa punto ng view ng ginintuang seksyon, simula sa Pythagoras, na, natural, ay magsasama ng bago at tiyak na napaka-kagiliw-giliw na mga resulta ng matematika sa teorya. Sa mga praktikal na termino - "ginintuang" computerization. At dahil...
Hindi makakaapekto sa resultang ito. Ang batayan ng ginintuang ratio ay isang invariant ng recursive na relasyon 4 at 6. Ito ay nagpapakita ng "katatagan" ng gintong seksyon, isa sa mga prinsipyo ng organisasyon ng buhay na bagay. Gayundin, ang base ng ginintuang proporsyon ay isang solusyon sa dalawang kakaibang recursive sequence (Fig. 4.) Fig. 4 Recursive Fibonacci Sequence...
Ang tainga ay j5, at ang distansya mula sa tainga hanggang sa korona ay j6. Kaya, sa estatwa na ito makikita natin ang isang geometric na pag-unlad na may denominator na j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Larawan.9). Kaya, ang golden ratio ay isa sa mga pangunahing prinsipyo sa sining ng sinaunang Greece. Mga ritmo ng puso at utak. Pantay-pantay ang tibok ng puso ng tao - humigit-kumulang 60 beats kada minuto kapag nagpapahinga. Parang piston ang puso ko...
Antas ng kahirapan: Madali
Una, piliin kung saan ilalagay ang gitna ng bilog. Doon kailangan mong maglagay ng panimulang punto, hayaan itong tawaging O. Gamit ang isang compass, gumuhit ng isang bilog sa paligid nito ng isang ibinigay na diameter o radius.
Pagkatapos ay gumuhit kami ng dalawang palakol sa pamamagitan ng punto O, ang gitna ng bilog, isang pahalang, ang isa pa sa 90 degrees na may kaugnayan dito - patayo. Tawagan natin ang mga pahalang na intersection point mula kaliwa hanggang kanan A at B, patayo, mula sa itaas hanggang sa ibaba - M at N. Ang radius, na namamalagi sa anumang axis, halimbawa, sa pahalang sa kanang bahagi, ay nahahati sa kalahati. Ito ay maaaring gawin tulad nito: magtakda ng isang compass na may radius ng isang bilog na kilala sa amin na may dulo nito sa punto ng intersection ng pahalang na axis at ang bilog - B, markahan ang mga intersection na may bilog, tawagan ang mga nagresultang punto, ayon sa pagkakabanggit, mula sa itaas hanggang sa ibaba - C at P, ikonekta ang mga ito sa isang segment na magsa-intersect sa OB axis, Tinatawag namin ang intersection point na K.
Ikinonekta namin ang mga puntong K at M at kumuha ng isang segment na KM, itakda ang isang compass sa punto M, itakda ang distansya upang ituro ang K dito at gumuhit ng mga marka sa radius OA, tawagan ang puntong ito E, pagkatapos ay iguhit ang compass sa intersection sa itaas. kaliwang bahagi ng bilog OM. Tinatawag namin itong intersection point na F. Ang distansya na katumbas ng segment na ME ay ang kinakailangang bahagi ng equilateral pentagon. Sa kasong ito, ang point M ay magiging isang vertex ng pentagon na binuo sa bilog, at ang point F ay ang isa.
Susunod, mula sa mga nakuha na puntos sa buong bilog, gumuhit kami ng mga distansya ng compass na katumbas ng segment na ME, sa kabuuan ay dapat mayroong 5 puntos na ikinonekta namin ang lahat ng mga punto na may mga segment - nakakakuha kami ng isang pentagon na nakasulat sa bilog.
Tama pentagon ay isang polygon kung saan ang lahat ng limang panig at lahat ng limang anggulo ay pantay sa bawat isa. Madaling gumuhit ng bilog sa paligid nito. Bumuo pentagon at ang bilog na ito ang tutulong.
Una sa lahat, kailangan mong bumuo ng isang bilog na may compass. Hayaang ang gitna ng bilog ay tumutugma sa punto O. Iguhit ang mga axes ng simetriya patayo sa bawat isa. Sa punto ng intersection ng isa sa mga ax na ito sa bilog, maglagay ng punto V. Ang puntong ito ang magiging vertex ng hinaharap. pentagon A. Sa punto kung saan ang iba pang axis ay nag-intersect sa bilog, ilagay ang point D.
Sa segment na OD, hanapin ang midpoint at markahan ang point A pagkatapos nito, kailangan mong bumuo ng isang bilog na may compass na may gitna sa puntong ito. Bilang karagdagan, dapat itong dumaan sa punto V, iyon ay, na may radius CV. Italaga ang punto ng intersection ng axis ng symmetry at ang bilog na ito bilang B.
Pagkatapos nito, gamit kumpas gumuhit ng isang bilog na may parehong radius, inilalagay ang karayom sa punto V. Italaga ang intersection ng bilog na ito sa orihinal bilang point F. Ang puntong ito ay magiging pangalawang tuktok ng hinaharap na tama pentagon A.
Ngayon ay kailangan mong gumuhit ng parehong bilog sa punto E, ngunit may sentro sa F. Italaga ang intersection ng bilog na iginuhit mo lang sa orihinal bilang punto G. Ang puntong ito ay magiging isa pa sa mga vertices pentagon A. Katulad nito, kailangan mong bumuo ng isa pang bilog. Ang sentro nito ay G. Hayaang ang intersection point nito sa orihinal na bilog ay H. Ito ang huling vertex ng isang regular na polygon.
Dapat mayroon ka na ngayong limang vertex. Ang natitira na lang ay ikonekta lamang ang mga ito gamit ang isang ruler. Bilang resulta ng lahat ng mga operasyong ito, makukuha mo ang tama pentagon.
Pagbuo ng tama pentagons Maaari kang gumamit ng compass at ruler. Totoo, ang proseso ay medyo mahaba, tulad ng pagtatayo ng anumang regular na polygon na may kakaibang bilang ng mga panig. Pinapayagan ka ng mga modernong computer program na gawin ito sa loob ng ilang segundo.
Kakailanganin mo
Hanapin ang tuktok na menu sa programa ng AutoCAD, at sa loob nito - ang tab na "Home". Mag-click dito gamit ang kaliwang pindutan ng mouse. Lalabas ang Draw panel. Lalabas ang iba't ibang uri ng linya. Pumili ng saradong polyline. Ito ay isang polygon, ang natitira lamang ay ipasok ang mga parameter. AutoCAD. Binibigyang-daan kang gumuhit ng iba't ibang mga regular na polygon. Ang bilang ng mga panig ay maaaring umabot sa 1024. Maaari mo ring gamitin ang command line, depende sa bersyon sa pamamagitan ng pag-type ng “_polygon” o “plural angle”.
Hindi alintana kung gumagamit ka ng command line o mga menu ng konteksto, may lalabas na window sa iyong screen na humihiling sa iyong ilagay ang bilang ng mga panig. Ipasok ang numerong "5" doon at pindutin ang Enter. Hihilingin sa iyo na tukuyin ang gitna ng pentagon. Ipasok ang mga coordinate sa lalabas na window. Maaari mong tukuyin ang mga ito bilang (0,0), ngunit maaaring mayroong anumang iba pang data.
Piliin ang nais na paraan ng pagtatayo. . Nag-aalok ang AutoCAD ng tatlong mga pagpipilian. Ang isang pentagon ay maaaring bilugan sa paligid ng isang bilog o nakasulat dito, ngunit maaari rin itong itayo ayon sa isang ibinigay na laki ng gilid. Piliin ang opsyon na gusto mo at pindutin ang enter. Kung kinakailangan, itakda ang radius ng bilog at pindutin din ang enter.
Ang isang pentagon kasama ang isang naibigay na panig ay unang itinayo sa eksaktong parehong paraan. Piliin ang Draw, isang saradong polyline, at ilagay ang bilang ng mga gilid. I-right-click upang buksan ang menu ng konteksto. I-click ang command na "edge" o "side". Sa command line, ipasok ang mga coordinate ng mga panimulang punto at pagtatapos ng isa sa mga gilid ng pentagon. Pagkatapos nito, lilitaw ang pentagon sa screen.
Ang lahat ng mga operasyon ay maaaring isagawa gamit ang command line. Halimbawa, upang makabuo ng isang pentagon sa isang tabi sa bersyon ng Ruso ng programa, ipasok ang titik na "c". Sa Ingles na bersyon ito ay magiging "_e". Upang makabuo ng isang inscribed o circumscribed pentagon, ilagay pagkatapos matukoy ang bilang ng mga gilid ang mga letrang "o" o "v" (o ang English na "_с" o "_i")
Sa ganitong simpleng paraan maaari kang bumuo ng hindi lamang isang pentagon. Upang makabuo ng isang tatsulok, kailangan mong ikalat ang mga binti ng compass sa isang distansya na katumbas ng radius ng bilog. Pagkatapos ay ilagay ang karayom sa anumang punto. Gumuhit ng manipis na pantulong na bilog. Ang dalawang intersection point ng mga bilog, pati na rin ang punto kung saan ang binti ng compass, ay bumubuo ng tatlong vertices ng isang regular na tatsulok.
