Теорема. Във всеки паралелепипед срещуположните лица са равни и успоредни.
По този начин лицата (фиг.) BB 1 C 1 C и AA 1 D 1 D са успоредни, тъй като две пресичащи се прави BB 1 и B 1 C 1 от едно лице са успоредни на две пресичащи се прави AA 1 и A 1 D 1 от другото. Тези лица са равни, тъй като B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (като противоположни страни на успоредници) и ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.
Теорема. Във всеки паралелепипед и четирите диагонала се пресичат в една точка и се делят наполовина в нея.
Да вземем (фиг.) някои два диагонала в паралелепипеда, например AC 1 и DB 1, и да начертаем прави линии AB 1 и DC 1.
Тъй като ръбовете AD и B 1 C 1 са съответно равни и успоредни на ръба BC, то те са равни и успоредни един на друг.
В резултат на това фигурата ADC 1 B 1 е успоредник, в който C 1 A и DB 1 са диагонали, а в успоредник диагоналите се пресичат наполовина.
Това доказателство може да се повтори за всеки два диагонала.
Следователно диагоналът AC 1 пресича BD 1 наполовина, диагоналът BD 1 пресича A 1 C наполовина.
Така всички диагонали се пресичат наполовина и следователно в една точка.
Теорема. В правоъгълен паралелепипед квадратът на всеки диагонал е равен на сумата от квадратите на неговите три измерения.
Нека (фиг.) AC 1 е някакъв диагонал на правоъгълен паралелепипед.
Начертавайки AC, получаваме два триъгълника: AC 1 C и ACB. И двете са правоъгълни:
първото, защото паралелепипедът е прав и следователно ръбът CC 1 е перпендикулярен на основата,
второто, защото паралелепипедът е правоъгълен, което означава, че в основата му има правоъгълник.
От тези триъгълници намираме:
AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 и AC 2 = AB 2 + BC 2
Следователно AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1
Последица. В правоъгълен паралелепипед всички диагонали са равни.
или (еквивалентно) многостен с шест лица, които са успоредници. Шестоъгълник.
Успоредниците, които изграждат паралелепипеда, са ръбовена този паралелепипед, страните на тези успоредници са ръбове на паралелепипед, и върховете на успоредниците са върхове паралелепипед. В паралелепипед всяко лице е успоредник.
По правило всеки 2 противоположни лица се идентифицират и извикват основи на паралелепипеда, а останалите лица - странични лица на паралелепипеда. Ръбовете на паралелепипеда, които не принадлежат към основите, са странични ребра.
2 лица на паралелепипед, които имат общ ръб са съседен, и тези, които нямат общи ръбове - противоположност.
Сегмент, който свързва 2 върха, които не принадлежат на 1-вото лице, е диагонал на паралелепипед.
Дължините на ръбовете на правоъгълен паралелепипед, които не са успоредни, са линейни размери (измервания) паралелепипед. Правоъгълният паралелепипед има 3 линейни измерения.
Има няколко вида паралелепипеди:
Директене паралелепипед с ръб, перпендикулярен на равнината на основата.
Правоъгълен паралелепипед, в който всичките 3 измерения са равни, е куб. Всяка от страните на куба е еднаква квадрати .
Всеки паралелепипед.Обемът и съотношенията в наклонен паралелепипед се определят главно с помощта на векторна алгебра. Обемът на паралелепипеда е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на 3 вектора, които се определят от 3-те страни на паралелепипеда (които произхождат от един и същи връх). Връзката между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях показва твърдението, че детерминантата на Грам на дадените 3 вектора е равна на квадрата на тяхното смесено произведение.
Паралелепипедът е геометрична фигура, всичките 6 лица на която са успоредници.
В зависимост от вида на тези паралелограми се разграничават следните видове паралелепипеди:
Правият паралелепипед е четириъгълна призма, чиито ръбове сключват ъгъл от 90° с равнината на основата.
Правоъгълният паралелепипед е четириъгълна призма, чиито лица са правоъгълници. Кубът е вид четириъгълна призма, в която всички лица и ръбове са равни една на друга.
Характеристиките на фигурата предопределят нейните свойства. Те включват следните 4 твърдения:
Лесно е да запомните всички горни свойства, те са лесни за разбиране и се извеждат логически въз основа на вида и характеристиките на геометричното тяло. Въпреки това, простите изрази могат да бъдат изключително полезни при решаване на типични USE задачи и ще спестят времето, необходимо за преминаване на теста.
За да намерите отговори на проблема, не е достатъчно да знаете само свойствата на фигурата. Може да се нуждаете и от някои формули за намиране на площ и обем на геометрично тяло.
Площта на основите се намира по същия начин като съответния индикатор на успоредник или правоъгълник. Можете сами да изберете основата на успоредника. По правило при решаване на задачи е по-лесно да се работи с призма, чиято основа е правоъгълник.
Формулата за намиране на страничната повърхност на паралелепипед може да е необходима и в тестови задачи.
дадени: правоъгълен паралелепипед с размери 3, 4 и 12 см.
необходимонамерете дължината на един от главните диагонали на фигурата.
Решение: Всяко решение на геометрична задача трябва да започне с изграждането на правилен и ясен чертеж, на който ще бъдат посочени „дадено“ и желаната стойност. Фигурата по-долу показва пример за правилното изпълнение на условията на задачата.
След като разгледахме направения чертеж и запомнихме всички свойства на геометричното тяло, стигаме до единствения правилен метод за решение. Прилагайки 4-то свойство на паралелепипед, получаваме следния израз:
След прости изчисления получаваме израза b2=169, следователно b=13. Отговорът на задачата е намерен, трябва да отделите не повече от 5 минути за търсене и рисуване.
дадени: наклонен паралелепипед със страничен ръб 10 cm, правоъгълник KLNM с размери 5 и 7 cm, който е напречно сечение на фигурата, успоредно на посочения ръб.
необходимонамерете страничната повърхност на четириъгълната призма.
Решение: Първо трябва да скицира даденото.
За да решите тази задача, трябва да използвате изобретателност. Фигурата показва, че страните KL и AD са неравни, както и двойката ML и DC. Но периметрите на тези успоредници очевидно са равни.
Следователно, страничната площ на фигурата ще бъде равна на площта на сечението, умножена по ръба AA1, тъй като по условие ръбът е перпендикулярен на сечението. Отговор: 240 cm2.
В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(фиг. 1).
ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
ориз. 3 Прав паралелепипед
И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
така че кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на правоъгълен паралелепипед е правоъгълник.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични стени на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажете: .
ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:
Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. След това:
защото , А , Това. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
