На поверхность жидкости в капилляре действует сила поверхностного натяжения, которая будет являться равнодействующей сил, действующих на молекулы поверхностного слоя, прилегающие к стенке сосуда, для смачивающих жидкостей будет направлена наружу (вверх), а для несмачивающих – внутрь (вниз).Под действием этих сил поверхность жидкости около стенки сосуда принимает криволинейную (изогнутую) форму, называемую мениском.Мениск будет вогнутым, если жидкость смачивает стенку сосуда (рис. 8, а)и выпуклым, если не смачивает (рис. 8, б).
Вывод формулы (факультативно). По определению коэффициента поверхностного натяжения можно определить давление внутри шарообразной капли жидкости или давление внутри пузырька газа в жидкости.
Если р - давление внутри шарообразной капли жидкости или внутри пузырька газа, σ - поверхностное натяжение жидкости, r - радиус шарика, то для увеличения радиуса r шарика на величину Δr (r 1 = r + Δr ) (Рис. 9 а) или увеличения площади его поверхности S на ΔS надо затратить работу, равную приращению поверхностной энергии: ΔW = ΔА = σ ΔS , где площадь шара (вспомним из школьного курса геометрии) равна S = 4 π r 2 .
Тогда ΔА = σ ΔS = σ = σ ,
а значит: ΔА = 4π σ [(r + Δr ) 2 - r 2 ] .
Квадрат суммы, как известно, равен (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , то:
ΔА = 4π σ [(r + Δr ) 2 - r 2 ] = 4π σ [(r 2 + 2r ּΔr + (Δr ) 2) - r 2 ] = 4π σ ּ[r 2 + 2r ּΔr +
(Δr ) 2 - r 2 ] = 4π σ [ 2r ּΔr + (Δr ) 2 ] = 4π σ [ 2r ּΔr + (Δr ) 2 ]
Поскольку (Δr ) 2 << 2r ּΔr , точленом, содержащим (Δr ) 2 можно пренебречь. Поэтому для изменения работы мыеем: ΔА = σ ּ8 πr ּΔr .
С другой стороны, затраченная работа газа при постоянной температуре равна: ΔА
= р
ΔV
, где изменение объёма шара как дифференциал функции равно 
.
Тогда ΔА = р ΔV = р ּ4 π r 2 ּΔr . Приравнивая оба выражения, получим:
ΔА
= σ
ּ8
πr
ּΔr
= р
ּ4
π r 2
ּΔr
.
В итоге получим:σ ּ2 = р ּ r , что можно преобразовать так: .
Эта формула называется формулой Лапласа для дополнительного давления под изогнутой поверхностью жидкости.
Формула Лапласа читается так: дополнительное давление под изогнутой поверхностью жидкости вследствие действия сил поверхностного натяжения прямо пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения σ , обратно пропорционально радиусу r капли жидкости или пузырька газа в жидкости и направлено в сторону вогнутости (к центру кривизны).
Отметим, что поскольку давление обратно пропорционально радиусу капли жидкости или пузырька газа в жидкости, давление тем больше, чем меньше радиус шарообразной капли.
Формула Лапласа выполняется и для капиллярных явлений.
Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривлен,образуя мениск, и оказывает дополнительное по отношению к внешнему давление Δр . В капилляре внешним давлением является атмосферное давление (гидростатическое давление столба атмосферы, находящейся над нами), обусловленное силой тяжести и равное на поверхности моря 760 мм рт.ст. или 1, 0135·10 5 Па.
Результирующая сила поверхностного натяжения искривленной поверхности направлена в сторону вогнутости (к центру кривизны). В случае сферической поверхности, радиус кривизны которой r , дополнительное давление по формуле Лапласа: .
При хорошем смачивании образуется вогнутый мениск. Силы дополнительного давления Лапласа направлены от жидкости наружу, т.е. вверх.
Дополнительное давление Лапласа действует против атмосферного давления, уменьшая его, обусловливая подъем жидкости в капилляре.
Жидкость будет подниматься в капилляре до тех пор, пока дополнительное давление Δp (давление Лапласа), обусловленное силами поверхностного натяжения и направленное вверх (к центру окружности мениска), не уравновесится гидростатическим (весовым) давлением p гидрост = ρgh , действующим вниз (Δp= p гидрост ).
Но радиус мениска равен радиусу капилляра (R = r) только при полном смачивании, когда Θ=0 0 . Во всех других случаях найти радиус мениска экспериментально непросто, поэтому выразим r через R –радиус капилляра. Из рис. 9б видно, что .
Поэтому, учитывая закон Лапласа, получаем равенство: 
, откуда высота поднятия жидкости в капилляре 
(*), т.е. зависит от свойств жидкости и материала капилляра, а также от его радиуса.
В случае плохого смачивания (несмачивания) cosΘ< 0 и формула (*) покажет высоту опускания жидкости в капилляре.
Эта же формула даёт возможность определить поверхностное натяжение жидкости по высоте подъема жидкости в капилляре и величине краевого угла между мениском жидкости и стенками сосуда (капиллярный метод ):
.
В случае полного смачивания (угол Θ = 0 °, а значит cos Θ = 1 ) и полного несмачивания (угол Θ = 180° , а значит cos Θ = -1 ) формула намного упростится.
Существуют и другие методы определения коэффициента поверхностного натяжения σ : а) метод отрыва капель, б) методы отрыва кольца и рамки, в) метод отрывающегося пузырька воздуха (Ребиндера). Они будут рассмотрены ниже.
Уравнение
где ортогональные декартовы координаты, называют уравнением Лапласа. Выражение, стоящее в левой его части, называют лапласианом функции и, а правило, по которому образуется выражение, - оператором Лапласа. Оператор Лапласа принято обозначать символом вследствие чего уравнение (1) может быть записано в форме
Неоднородное уравнение
где заданная функция, называют уравнением Пуассона.
Вид дифференциальных выражений в левых частях уравнений Лапласа и Пуассона одинаков во всех ортогональных декартовых координатах. При переходе к криволинейным координатам он изменяется и может быть, для ортогональных криволинейных координат, определен с помощью соотношений § 7 предыдущей главы. В частности, используя формулы (54), (48) и (49) гл. XVIII найдем, что в цилиндрических координатах
в сферических координатах
К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики и т. д. Рассмотрим, например, постановку некоторых задач для уравнения Лапласа.
1. Задача о стационарном тепловом состоянии однородного тела. Допустим, что мы имеем некоторое
изолированное от внешнего пространства однородное изотропное тело, тепловое состояние которого не меняется с течением времени. Обозначим через V занятую им часть пространства, через его поверхность, а через и температуру в точке
Докажем, что во всякой внутренней точке х взятого нами тела функция удовлетворяет уравнению Лапласа.
С этой целью выделим из тела некоторую область ограниченную произвольно взятой поверхностью и рассмотрим количество тепла, которое проходит в единицу времени через элемент поверхности. Согласно принципу Фурье, оно пропорционально площади элемента и нормальной производной где через обозначено направление внешней нормали к поверхности. Другими словами, это количество тепла равно произведению
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутренней теплопроводности тела.
Рассмотрим движение тепла в теле. Из термодинамики известно, что тепло течет от точек с большей температурой к точкам с меньшей температурой. Следовательно, при отрицательной производной поток тепла будет происходить из внутренней части тела, ограниченной поверхностью в область, внешнюю по отношению к этой поверхности. Если же указанная производная положительна, то распространение тепла будет представлять обратную картину.
Отсюда вытекает, что двойной интеграл
дает алгебраическую сумму количества тепла, прошедшего за единицу времени через поверхность причем вытекающему теплу приписывается отрицательный знак, а втекающему - положительный.
Если предположить, что внутри тела отсутствуют как источники тепла, так и точки его поглощения, то интеграл (5) должен равняться нулю. Действительно, если бы это было не так, то тепло накапливалось бы или терялось внутри тела, и, следовательно, температура тела изменилась бы с течением времени, что противоречит предположению о неизменности теплового состояния тела.
Итак, в данном случае должно иметь место следующее равенство:
Применим в области формулу Грина (7) гл. XVIII:
и положим в ней
Тогда, приняв во внимание, что интеграл (5) равен нулю, найдем, что
Отсюда, ввиду произвольности области вытекает, что
т. е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа.
Предположим теперь, что нам известно распределение температуры на поверхности тела и мы желаем определить температуру любой точки, находящейся внутри тела.
Очевидно, мы решим эту задачу, если найдем такое решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяло бы граничному условию
где обозначает температуру в точке х поверхности
2. Задача о равновесии электрических масс на поверхности проводника. Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой электрических зарядов. Если заряды расположены дискретно в точках то потенциал поля в точке х
где расстояние от заряда до точки х. Если же заряды непрерывно распределены на некоторой линии или поверхности или в объеме У, то потенциал поля соответственно выражается одним из интегралов:
где расстояние от элемента линии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих формулах величины обозначают линейную, поверхностную или объемную плотность зарядов:
где заряд элемента линии L (поверхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.
Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой - проводником, т. е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, а остальная часть пространства - диэлектриком, т. е. средой, в которой движение зарядов невозможно.
В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области V, включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению Лапласа:
Внутри проводника заряды разных знаков должны быть взаимно нейтрализованы. В самом деле, оставшиеся внутри проводника избыточные заряды какого-либо знака под действием отталкивания между одноименными зарядами перемещались бы до тех пор, пока все они не оказались бы на границе проводника и не распределились на ней должным образом. Следовательно, если достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе проводника в виде бесконечно тонкого электрического слоя.
Потенциал этого слоя в точке выражается интегралом:
где расстояние от переменной точки поверхности проводника до точки х.
Если точка х находится вне проводника, то функция у удовлетворяет уравнению Лапласа. В самом деле,
Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал и, определяемый формулой (12). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к интегралу (12) правило дифференцирования по параметру, что мы имеем право сделать, так как, по
предположению, точка х находится вне поверхности следовательно, подынтегральная функция в выражении (12) нигде не обращается в бесконечность.
Итак, в каждой точке х, лежащей вне проводника, потенциал и также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Обратимся теперь к выяснению обстоятельств, имеющих место в бесконечно удаленных точках пространства, заполненного диэлектриком, и на самой поверхности проводника.
Как мы это выясним ниже, интеграл (12) обращается в бесконечно удаленных точках в нуль (вместе со своими частными производными первого порядка), и притом так, что произведения
остаются ограниченными, когда расстояние от точки х до начала координат увеличивается до бесконечности. Что касается обстоятельств, имеющих место на поверхности проводника, то будет доказано, что потенциал и остается ограниченным и непрерывным при переходе точки х через поверхность проводника. Напротив, нормальные производные потенциала и при таком переходе претерпевают конечный разрыв непрерывности, причем этот разрыв характеризуется равенством
где предельные значения выражения
при приближении точки х к точке соответственно по внутренней и внешней нормали к в точке
Воспользуемся равенством (13) для постановки так называемой электростатической задачи: найти плотность электрического слоя, непрерывно распределенного на поверхности данного проводника, если последний находится в состоянии электрического равновесия.
Допустим, что для данного проводника такое состояние наступило. Тогда, по данным выше разъяснениям, потенциал внутри проводника будет величиной постоянной, и, следовательно, будет иметь место равенство
Из этого равенства и из формулы (13) вытекает, что
т. е. искомая плотность слоя будет найдена, если мы определим потенциал и этого слоя в точках, лежащих вне проводника.
Мизотин М.М. 1 , Крылов А.С. 1 , Проценко П.В. 2
1 МГУ имени М.В. Ломоносова, факультет ВМК
2 МГУ имени М.В. Ломоносова, Химический факультет
Поверхностное натяжение является одним из важнейших свойств жидкости, и его точное измерение является необходимым для изучения различных явлений и разработки технологических процессов. Существует целый ряд способов измерения поверхностного натяжения, однако среди всех них можно выделить метод лежащей или висящей капли. Основные достоинства метода заключаются в очень широкой области применения – от легких текучих жидкостей до жидких металлов, и относительная простота экспериментальной установки по сравнению с другими методами. Причем, в связи с развитием цифровой вычислительной и фототехники стало возможным производить анализ практически мгновенно.
Суть метода состоит в следующем: капля помещается на горизонтальную подложку (метод лежащей капли) или подвешивается на капиллярной трубке (метод висящей капли) и затем изучается ее фотография в профиль. Измерение геометрических параметров равновесной капли, форма которой определяется соотношением плотности и поверхностного натяжения жидкости, позволяет восстановить искомое поверхностное натяжение. Схема установки представлена на Рис. 1.
Рис. 1. 1 – источник света (лампа или зеркало микроскопа), 2 – капля на подложке,
3 – микроскоп с цифровой камерой.
Несмотря на достаточно хорошо разработанную экспериментальную методику, до сих пор требуется специальная дорогостоящая установка для съемки капли. В данной работе предложен алгоритм для экспериментальной установки из широкодоступных компонентов. Недостатки установки по сравнению с лабораторным оборудованием компенсируются предложенными методами обработки изображений.
Основное уравнение метода лежащей капли – уравнение Юнга-Лапласа, описывает поверхность капли с симметрией вращения на горизонтальной подложке. Для решения этой задачи была предложена эффективная методика , впоследствии улучшенная и дополненная .
Данная методика основана на численном дифференцировании уравнения Юнга-Лапласа. Для того, чтобы продифференцировать уравнение Юнга-Лапласа вводится параметризация кривой 
, где t
– длина дуги кривой от вершины капли (Рис. 2).
Рис. 2. Параметризация контура капли.
Эта параметризация удовлетворяет условию 
, и приводит к системе уравнений
(1)
с начальными условиями 
, 
, 
, 
и дополнительным условием 
. В разработанном программном пакете, задача Коши (1) решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Для восстановления параметров лежащей капли необходимо решить обратную задачу определения капиллярной постоянной 
, координат апекса капли 
и ее радиуса кривизны 
по функции радиуса горизонтального сечения капли от высоты над подложкой. Эта функция измерена с ошибкой и, в ряде случаев, доступны измерения только части контура капли. При решении данной обратной задачи минимизируется ошибка (2)
между экспериментальными точками 
и кривой , полученной в результате численного решения задачи (2). Разность между экспериментальными точками и кривой определяется как корень из суммы квадратов расстояний от каждой экспериментальной точки до кривой.
В связи с этим возникает следующая задача обработки изображений: автоматическое получение контура капли , что осложняется наличием пыли и мусора на снимках (что связано с применением обычной камеры в «бытовых» условиях), а также переменными условиями освещения.
Одной из основных частей метода является вычисление функции ошибки (2). Вычисление расстояния между точкой и кривой (3)
в данном случае очень трудоемко, так как 
нам неизвестны, и их также необходимо находить численно методом одномерного поиска.
Для эффективного вычисления функции ошибки предлагается следующий алгоритм. Во-первых, необходимо все экспериментальные точки отсортировать так, чтобы с возрастанием номера точки i
соответствующий ей параметр также увеличивался. Тогда при поиске параметра для каждой следующей точки можно воспользоваться в качестве начального приближения значением параметра 
, а для первой точки начальным приближением будет 
. Подробнее о составлении контура капли см. далее.
Во-вторых, вычисление функции ошибки можно проводить непосредственно в процессе интегрирования системы (1) с помощью метода Рунге-Кутты. В самом деле, на каждой итерации нам доступны значения , и наименьшее расстояние от точки может быть найдено с помощью решения уравнения (4)
методом Ньютона. То есть, при численном интегрировании системы (1) нужно следить за значением функции (4) для каждой следующей точки, и запоминать значения наименьших ошибок, при необходимости уменьшая шаг по 
для увеличения точности результатов.
Как было сказано выше, для эффективного расчета ошибки по формуле (4), необходимо выделить из изображения контур капли таким образом, чтобы с возрастанием номера точки i соответствующий ей параметр также увеличивался. Данная операция проводится в 2 этапа: непосредственное выделение краев с помощью детектора Канни (Canny) и выделение из полученной бинарной карты краев связанных последовательных наборов точек.
Для отслеживания краев был разработан следующий алгоритм. Во-первых, необходимо провести операцию утончения краев (edge thinning), поскольку детектор Канни не гарантирует, что все полученные края будут толщиной в 1 пиксель (в основном, такая ситуация возникает в местах соединения), а такое условие необходимо для дальнейшей обработки. Операция утончения краев может быть проведена с использованием одного из известных методов утончения краев . В данной работе использовался алгоритм .
Дальнейшая обработка строится на анализе окрестности 3x3 пикселя вокруг рассматриваемого пикселя. На рис. 3 значения пикселей в окрестности представлены переменными 
, принимающими значение 0 или 1.
Рис. 3.
Окрестность 3x3 вокруг рассматриваемого пикселя 
, 
.
Общая схема алгоритма выделения связных последовательностей точек:
Если 
и 
, то в центральном пикселе находится пересечение контуров.
Если 
и , то в центральном пикселе находится конец контура.
При этом, проверка этих условий может быть быстро и эффективно произведена с помощью таблиц поиска, так как всего возможных входных значений 512 = 2 9 .
Начать с одного из найденных концов контуров.
Добавить текущий пиксель в список пикселей контура под текущим номером и пометить на карте краев текущий пиксель номером текущего контура.
Найти среди соседей текущего пикселя пиксель со значением 1.
Если найденный сосед не является концом контура или пересечением и не помечен на карте краев еще ни одним номером, то передвинуть текущий пиксель в позицию найденного соседа и перейти к шагу 3. Иначе, закончить заполнение текущего контура и перейти к следующему (шаг 2).
Экспериментальные исследования системы парафиновое масло / декан в различных концентрациях с помощью предложенного алгоритма показали эффективность предложенного подхода.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.
Maze C., Burnet G . A Non-linear Regression Method for Calculating the Surface Tension and Contact Angle from the Shape of a Sessile Drop // Surf. Sci . 1969. V. 13. P. 451.
Krylov A. S., Vvede nsky A. V., Katsnelson A. M., Tugovikov A. E . Software package for determination of surface tension of liquid metals // J. Non-Cryst. Solids . 1993. V. 156-158. P. 845.
O. I. del Río and A. W. Neumann. Axisymmetric Drop Shape Analysis: Computational Methods for the Measurement of Interfacial Properties from the Shape and Dimensions of Pendant and Sessile Drops // Journal of Colloid and Interface Science , Volume 196, Issue 2, 15 December 1997, Pages 136-147.
M. Hoorfar and A. W. Neumann. Recent progress in Axisymmetric Drop Shape Analysis // Advances in Colloid and Interface Science , Volume 121, Issues 1-3, 13 September 2006, Pages 25-49.
Canny, J., A Computational Approach To Edge Detection // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence , 8(6):679–698, 1986
Lam L., Lee S.-W., Suen C.Y. Thinning Methodologies - A Comprehensive Survey // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence archive , Volume 14 Issue 9, September 1992.
Z. Guo and R. W. Hall , «Parallel thinning with two-subiteration algorithms», Comm. ACM, vol. 32, no. 3, pp. 359-373, 1989.
DROPLET EDGE DETECTION FOR SURFACE TENSION DETERMINATION
Mizotin M. 1 , Krylov A. 1 , Protsenko P. 2
1 Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Laboratory of Mathematical Methods of Image Processing,
2 Lomonosov Moscow State University, Department of Chemistry
Surface tension is one of the key propertied of liquid, thus its measurement is crucial for studying various phenomena such as wetting and development of technological processes. There sessile and pendant drop techniques are one of the most frequently used because of their universality and simplicity of measurement process.
The method is based on studying of the axisymmetric drop profile. The balance of gravity force and surface tension forms the distinct profile shape, thus surface tension can be calculated by the solution of the inverse problem for the Young-Laplace equation.
In this work the method of droplet contour extraction for determination of the surface tension is presented. The key difference of the proposed method is its orientation on inexpensive experimental setup using widely available components such as standard microscope, digital camera and substrate holder. Proposed techniques of image processing allow to avoid most of the problems concerning inferior quality of the drop images acquired by inexpensive setup retaining the measurement accuracy.
The work was supported by federal target program ”Scientific and scientific-pedagogical personnel of innovative Russia in 2009-2013”.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОРФОЛОГИЧЕСКИХ АМЁБ ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ
С
ОСУДОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ГЛАЗНОГО ДНА
Насонов А.В. 1 , Черноморец А.А. 1 , Крылов А.С. 1 , Родин А.С. 2
МГУ имени М.В. Ломоносова,
1 факультет вычислительной математики и кибернетики, лаборатория математических методов обработки изображений /
2 факультет фундаментальной медицины, кафедра офтальмологии
В работе разработан алгоритм выделения сосудов на изображениях глазного дна, основанный на использовании метода морфологических амёб. Рассмотрено применение алгоритма к задаче продолжения сосудов от множества точек, заведомо являющихся точками сосудов.
1. Введение
Фотографии глазного дна используются для диагностики заболеваний сетчатки. Сегментация и оценивание характерных величин сосудов кровеносной системы сетчатки представляют важнейший интерес при диагностировании и лечении многих заболеваний глаз.
Выделение сосудов на изображениях сетчатки является достаточно сложной задачей обработки изображений из-за высокого уровня шума, неравномерной освещённости, присутствия объектов, похожих на сосуды. Среди методов обнаружения сосудов на изображения глазного дна можно выделить следующие классы :
Класс методов, использующих свёртку изображений с двумерным направленным фильтром и последующее нахождение пиков откликов. В для сегментации сосудистой сети предложен двумерный линейный фильтр, профилем которого является гауссиан. Преимуществом данного подхода является устойчивое нахождение прямолинейных участков сосудов и вычисление их ширины. Однако метод плохо детектирует тонкие и извилистые сосуды, возможны ложные срабатывания на объекты, не являющимися сосудами, например на экссудаты.
Методы, использующие детектирование хребтов. В производится нахождение примитивов - коротких отрезков, лежащих посередине линий, затем с помощью методов машинного обучения отбираются примитивы, соответствующие сосудам, по которым восстанавливается сосудистое дерево.
Методы, использующие трекинг сосудов, включающий в себя как соединение сосудов по паре точек, так и продолжение сосудов . К преимуществам данного подхода можно отнести высокую точность работы на тонких сосудах и восстановление разрывных сосудов. Недостатком является сложность обработки ветвлений и пересечений сосудов.
Попиксельная классификация, основанная на применении методов машинного обучения . Здесь для каждого пикселя строится вектор признаков, на основе которого определяется, является ли пиксель частью сосуда или нет. Для обучения метода используются изображения глазного дна с размеченными на нём экспертом сосудами. К недостаткам метода можно отнести большое расхождение в мнениях экспертов.
В данной работе для выделения сосудов используется метод морфологических амёб - морфологический метод, при котором структурный элемент выбирается адаптивно для каждого пикселя.
2. Морфологические амёбы
Мы используем метод морфологических амёб, описанный в , с модифицированной функцией расстояния.
Рассмотрим изображение в градациях серого 
. Представим его в виде графа, в котором каждый пиксель соединён с восемью соседними пикселям рёбрами с некоторым заданными весами («стоимостью»). Тогда для каждого пикселя 
можно найти множество всех точек 
, для которых стоимость пути из в 
не превышает t
. Полученное множество и будет являться структурным элементом для пикселя .
Мы используем следующую функцию расстояния между пикселями и 
:
Сомножитель 
задаёт низкую стоимость перемещения по тёмным участкам и высокую - по светлым, тем самым не давая амёбе распространяться по точкам вне сосуда, а слагаемое штрафует перемещение между пикселями с сильно различающейся интенсивностью. Параметр 
задаёт значимость штрафа при данном переходе.
Пример нахождения амёб при 
приведён на рис. 1.
Рис. 1. Примеры форм морфологических амеб. Слева - исходное изображение с помеченными точками, в которых вычисляются амёбы, справа - белым помечены найдённые структурные элементы.
3. Выделение сосудов с помощью морфологических амёб
Для прослеживания сосудов кровеносной системы на изображениях глазного дна был разработан алгоритм, состоящий из следующих этапов:
4. Результаты
Пример работы алгоритма приведён на рис. 2.
Рис. 2. Результат выделения сосудов при помощи морфологических амеб. Слева - изображение глазного дна (зелёный канал), по центру - точки, заведомо являющиеся точками сосудов, от которых будут строиться амёбы, справа - результат выделения сосудов с помощью предложенного метода.
Заключение
Рассмотрено применение метода морфологических амёб для выделения сосудов на изображениях глазного дна.
Разработанный алгоритм планируется использовать в автоматизированной системе обнаружения заболеваний сетчатки.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы и гранта РФФИ 10-01-00535-а.
Литература
S.Chaudhuri, S.Chatterjee, N.Katz, M.Nelson, M.Goldbaum. Detection of Blood Vessels in Retinal Images Using Two-Dimensional Matched Filters // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8, No. 3, 1989, pp. 263–269.
J.Staal, M.D.Abramoff, M. Niemeijer, M.A.Viergever, B.Ginneken. Ridge-Based Vessel Segmentation in Color Images of the Retina // IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 23, No. 4, 2004, pp. 504–509.
M.Patasius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukosevieius. Recursive Algorithm for Blood Vessel Detection in Eye Fundus Images: Preliminary Results // IFMBE Proceedings, Vol. 25/11, 2009, pp. 212–215.
J.Soares, J.Leandro, R.Cesar Jr., H.Jelinek, M.Cree. Retinal Vessel Segmentation Using the 2-D Gabor Wavelet and Supervised Classification // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25, No. 9, 2006, pp. 1214–1222.
APPLICATION OF MORPHOLOGICAL AMOEAS METHOD FOR BLOOD VESSEL DETECTION IN EYE FUNDUS IMAGES
Nasonov A. 1 , Chernomorets A. 1 , Krylov A. 1 , Rodin A. 2
Lomonosov Moscow State University,
1 Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Laboratory of Mathematical Methods of Image Processing, /
2 Faculty of Fundamental Medicine, Department of Ophthalmology
An algorithm of blood vessels detection in eye fundus images has been developed. Segmentation and analysis of blood vessels in eye fundus images provides the most important information to diagnose retinal diseases.
Blood vessels detection in eye fundus images is a challenging problem . Images are corrupted by non-uniform illumination and noise. Also some objects can be wrongly detected as blood vessels.
The proposed algorithm is based on the method of morphological amoebas . Morphological amoeba for a given pixel is a set of pixels with the minimal distance to the given pixel less than a threshold t . We use the sum of average intensity value multiplied by Euclidean distance and absolute value of difference between pixel intensity values for the distance. In this case the distance will be small for blood vessels which are usually dark and big for light areas and edges, and the amoeba will be extended along the vessel but not through vessel walls.
The proposed algorithm of blood vessel detection consists of the following steps:
Extract the green channel as the most informative and perform illumination correction using the method . It makes possible to use unified amoebas parameters for different images.
Find the set of pixels {p n } in the obtained image which are surely the pixels of the blood vessels
Calculate the amoeba А (p i ) for every pixel , apply rank filtering to the amoeba mask with 3x3 window: remove the pixels from the mask which have less than 3 neighbor pixels in the mask. The remaining pixels are marked as blood vessels pixels.
If we need to extend the blood vessels, the third step is repeated for all newly added pixels to blood vessels area.
We plan to use the developed algorithm in automatic system of retinal disease detection.
The work was supported by federal target program ”Scientific and scientific-pedagogical personnel of innovative Russia in 2009-2013” and RFBR grant 10-01-00535-а.
Literature
R.J.Winder, P.J.Morrow, I.N.McRitchie, J.R.Bailie, P.M.Hart. Algorithms for digital image processing in diabetic retinopathy // Computerized Medical Imaging and Graphics, Vol. 33, 2009, 608–622.
M.Welk, M.Breub, O.Vogel. Differential Equations for Morphological Amoebas // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 5720/2009, 2009, pp. 104–114.
G.D.Joshi, J.Sivaswamy. Colour Retinal Image Enhancement based on Domain Knowledge // Sixth Indian Conference on Computer Vision, Graphics and Image Processing (ICVGIP"08), 2008, pp. 591–598.
изображения Using Tomography method in handwritten ... наличии импульсного шума, характерного при
Дисперсность – величина, обратная линейному размеру частицы (м -1):
Поверхностная энергия G S
- полная поверхностная
энергия системы.
Седиментация – это движение частиц под действием силы тяжести.
Закон Стокса:
- основная
формула седиментационого анализа
Диффузия – это процесс, направленный на выравнивание концентраций в первоначально неоднородной среде.
-
1-й закон
Фика;
- уравнение Эйнштейна (коэффициент диффузии)
проекция
среднеквадратичного сдвига:
- уравнение для среднеквадратичного сдвига
D ~ 10 -11 – 10 -14 м 2 /с, [D]=[м 2 /с]
Коэффициент диффузии – это поток вещества, переносимый через цилиндр с единичной площадью поперечного сечения в единицу времени.
уравнению
Гиббса-Дюгема
- гипсометрический
закон, барометрическая формула.
Осмосом называется движение растворителя (Дисперсионной среды) к коллоидному раствору через полупроницаемую мембрану.
уравнению
Вант-Гоффа:
Анизотропия
световых волн:
Закон Релея:
.
- Закон
Бугера-Ламберта-Бера
- мутность системы
[м -1 ]
Мутность – это величина, обратная расстоянию, на котором интенсивность падающего света ослабляется в е раз.
Поверхностное натяжение – это работа образования единицы поверхности в обратимых изотермических условиях.
Опыт Дюпре
:
Поверхностное натяжение – это сила, действующая к тангенциальной поверхности и отнесенная к единице длины периметра, ограничивающего эту поверхность.
Обобщенное уравнение I и II законов термодинамики:
- Уравнение
Гиббса-Гельмгольца
- уравнение
Лапласа
.
- формула Жюрена.
- принцип
Кюри-Гиббса
- уравнение
Томсана-Кельвина (капиллярной конденсации)
.
Метод Гиббса:
Метод поверхностного слоя:
За толщину слоя принимают расстояние по обе стороны от границы раздела фаз, за пределами которого поверхностные свойства перестают отличаться от объемных.
Смачивание – это явление взаимодействия жидкости с твердым или жидким телом при наличии границы раздела трех фаз.
- Уравнение
Юнга.
Работа растекания – это энергия, которая выделяется при покрытии поверхности тонким слоем жидкости или это сила, действующая к поверхности вдоль всей поверхности контакта.
- работа Кагезии
Работа Адгезии
Кагезия – это взаимодействие между частицами одной фазы. Это работа, которую необходимо затратить на разрыв фазы, отнесенная к единице поверхности разрыва.
Работа адгезии
затрачивается на образование двух новых
поверхностей
и
и выигрывается за счет исчезновения
поверхности твердое тело-жидкость.
Теплота смачивания (Н СМ ) – это количество энергии, которое выделяется при смачивании единицы поверхности.
Коэффициент
шероховатости
– отношение поверхности истинной к
поверхности геометрической.
,
Методы измерения поверхностного натяжения.
|
Статическое Методы, основанные на изучении статического равновесия Метод капиллярного поднятия
Метод Вильгельми
|
Полустатические  n 0 – число капель для стандартной жидкости n X – для измеряемой 2. Метод Дю-Нуи
3.
Метод избыточных давлений.
|
Динамические методы : метод колеблющихся струй.
АДСОРБЦИЯ.
- принцип Кюри
Адсорбцией называется процесс перераспределения компонента между объемной фазой и поверхностным слоем.
А – полная адсорбция – это количество адсорбата в поверхностном слое, отнесенное к единице массы или площади адсорбента. Может измеряться в моль/м 2 , моль/кг, г/кг и т.д.
Г – «гамма» - избыточная адсорбция (гипсовская) – это избыток адсорбата в поверхностном слое по сравнению с таким же объемом фазы, отнесенной к единице поверхности или массы адсорбента.
- уравнение
Леннарда-Джонса
- адсорбционное
уравнение Гиббса
.
- интегральное
изменение энергии Гиббса
.
- дифференциальное изменение энтропии
- дифференциальная энтальпия адсорбции
- изостерическая
теплота адсорбции
- теплота
конденсации
- чистая
теплота адсорбции
Qa
– интегральная теплота адсорбции,
Qra
– интегральная чистая теплота адсорбции,
- уравнение
Генри
- уравнение Лангмюра.
Адсорбция смеси
газов на однородной поверхности
Адсорбция смеси газов на неоднородной поверхности
Теория БЭТ
Основные положения:
При попадании молекулы адсорбата на занятое место образуется кратный комплект.
По мере приближения p к p s уменьшается число свободных адсорбционных мест. Первоначально увеличивается, а затем уменьшается число мест, занятых единичными, двойными и т.д. комплектами.
При p =p s адсорбция переходит в конденсацию.
Горизонтальные взаимодействия отсутствуют.
Для первого слоя выполняется изотерма Лангмюра.
Основной недостаток теории – пренебрежение горизонтальными взаимодействиями в пользу вертикальных.
Учет взаимодействий адсорбат-адсорбат.
А
дсорбент
не полярен.
Графику 1 соответствуют слабые взаимодействия адсорбат-адсорбат, сильное адсорбат-адсорбент.
Графику 2 соответствуют сильное взаимодействие адсорбат-адсорбат, сильное адсорбат-адсорбент.
Графику 3 соответствуют сильное взаимодействие адсорбат-адсорбат, слабое адсорбат-адсорбент.
- уравнение Фрункина,
Фаулера, Гугенгейма.
k – аттракционная постоянная.
Потенциальная теория Поляни
Адсорбция – это результат притяжения адсорбата к поверхности адсорбента за счет действия адсорбционного потенциала, который не зависит от присутствия других молекул и зависит от расстояния между поверхностью и молекулой адсорбата.
,
- адсорбционный потенциал.
Поскольку поверхность
неоднородная, расстояние заменяют на
адсорбционный объём
.
Адсорбционный
объём
– это
объём, заключенный между поверхностью
и точкой, соответствующей данному
значению
.
Адсорбционный потенциал – это работа перенесения 1 моль адсорбата вне данного адсорбционного объёма в данную точку адсорбционного объёма (или работа переноса 1 моль насыщенного пара адсорбата, находящегося в равновесии с жидким адсорбатом в отсутствии адсорбента в равновесную с адсорбентом паровую фазу).
уравнением
Томпсона – Кельвина
.
Адсорбция на
границе твердое тело – жидкость
Уравнение изотермы
адсорбции с константой обмена
Поверхностной активностью g называется способность веществ снижать поверхностное натяжение в системе.
- правило Траубо
Дюкло
- уравнение Шишковского.
Мицелла – называется агрегат молекул дифильных ПАВ, углеводородные радикалы которых образуют ядро, а полярные группы обращены в водную фазу.
Масса мицеллы – мицелляльная масса.
Число молекул – число агрегации.
Для гомологического ряда существует эмпирическое уравнение:
a – энергия растворения функциональной группы.
b – инкремент адсорбционного потенциала, работа адсорбции на одно метиленовое звено.
Наличие в мицеллах углеводородного ядра создает возможность для растворения в водных растворах ПАВ соединений, которые не растворимы в воде, это явление называется солюбилизацией (то, что растворяется – солюбилизат, ПАВ – солюбилизатор).
- двухмерное давление.
Пленка с обеих сторон ограниченная одинаковыми фазами называется двусторонней . В таких пленках наблюдается постоянное движение маточного раствора.
Пленки толщиной меньше 5 нм называются черными пленками .
- аналог уравнения
Шишковского
Электрокинетические явления. Двойной электрический слой (ДЭС).
Электроосмосом называется движение дисперсионной среды относительно неподвижной дисперсной фазы под действием электрического тока.
Электрофорез – это движение частиц дисперсной фазы относительно неподвижной дисперсионной среды под действием электрического тока.
модуль сдвига
модуль вязкого
трения
- уравнение
Гелемгольца-Смалуковского
уравнение Больцмана
Объемная плотность заряда
\
Уравнение Пуассона
-
толщина ДЭС – это расстояние, на котором
потенциал ДЭС уменьшается в e
раз.
- потенциал
экспоненциально уменьшается.
Ёмкость двойного
слоя
Теория Штерна. Строение коллоидной мицеллы.
Двойной электрический
слой состоит из двух частей: плотной и
диффузной. Плотный слой образуется в
результате взаимодействия потенциалобразующих
ионов со специфически адсорбирующимися.
Эти ионы, как правило, частично или
полностью дегидратированы и могут иметь
как одинаковый, так и противоположный
к потенциалопределяющим ионам заряд.
Это зависит от соотношения энергии
электростатического взаимодействия
и потенциала специфической адсорбции
.
Ионы плотного слоя закреплены. Другая
часть ионов расположена в диффузном
слое, эти ионы свободны и могут перемещаться
вглубь раствора, т.е. из области большей
концентрации в область меньшей. Общая
плотность заряда складывается из двух
частей.
- заряд слоя
Гельмгольца
- Заряд диффузного
слоя
,
где
- мольная доля противоионов в растворе
Линия разрыва называется границей скольжения .
Потенциал,
возникающий на границе скольжения в
результате отрыва части диффузного
слоя, называется электрокинетическим
потенциалом
(Дзэта потенциал
).
Частица дисперсной фазы, с окружающим её слоем противоионов и двойным электрическим слоем называется мицеллой .
Уравнение
Гелемгольца-Смолуховского
(для электроосмоса).
Для потенциала
течения:
- 1-е уравнение
Липпмана.
- 2-е уравнение
Липпмана.
- уравнение Нернста
- уравнение
электрокапиллярной кривой (ЭКК).
Коагуляция – это процесс слипания частиц, приводящий к потере агрегативной устойчивости.
– правило
Шульце-Гарди
Плёнка – это часть системы, находящаяся между двумя межфазными поверхностями.
Расклинивающее давление возникает при резком уменьшении толщины плёнки в результате взаимодействия сближающихся поверхностных слоев.
Теория устойчивости. ДЛФО (Дерягин, Ландау, Фервей, Овербек).
Согласно теории ДЛФО в расклинивающем давлении выделяют две составляющие:
Электростатическая П Э (положительная, она обусловлена силами электростатического отталкивания). Соответствует уменьшению энергии Гиббса при возрастании толщины пленки.
Молекулярная П М (отрицательная, обусловлена действием сил притяжения). Обусловлена сжатием пленки за счет химических поверхностных сил, радиус действия сил десятые доли нм с энергией порядка 400 кДж/моль.
Полная энергия
взаимодействия
:
- уравнение Лапласа
Для слабо заряженных поверхностей
Для сильно заряженных поверхностей:
Молекулярная составляющая – взаимодействие двух атомов:
~
Взаимодействие атома с поверхностью:
Поверхности
слабозаряженные:
,Для
сильнозаряженных поверхностей
Теория быстрой коагуляции Смолуховского.
Зависимость скорости коагуляции от концентрации электролита.
I – скорость коагуляции мала,
II – скорость коагуляции практически пропорциональна концентрации электролита.
III – область быстрой коагуляции, скорость практически не зависит от концентрации.
Основные положения :
Исходный золь монодисперсный, сходные частицы имеют сферическую форму.
Все столкновения частиц результативны.
При столкновении двух первичных частиц образуется вторичная. Вторичная + первичная = третичная. Первичное, вторичное, третичное – кратность.
,
,
,
Системы, которые
образуются самопроизвольно называются
лиофильными
,
характеризуются низкими значениями
и стабильные.
Системы лиофобные не образуются самопроизвольно, т/д неустойчивы и требуют дополнительной стабилизации чаще всего за счет введения в систему ПАВ.
Стадия образования
зародышей (
)=Образование
центров кристаллизации (I)
+ Стадия доставки вещества к этим
центрам(U).
Стадия роста
зародыша
= образование центров двухмерной
конденсации (I’)
+ доставка вещества к этим центрам (U)
Эта теория не была записана с помощью математических символов и поэтому не могла показать количественную связь между притяжением отдельных частиц и конечным результатом. Теория Лесли была позднее переработана с применением лапласовских математических методов Джеймсом Ивори (James Ivory) в статье о capillary action, under “Fluids, Elevation of”, в приложении к 4-му изданию Encyclopaedia Britannica, опубликованном в 1819 г.
Теории Юнга и Лапласа.
В 1804 г. Томас Юнг обосновал теорию капиллярных явлений на принципе поверхностного натяжения. Он также наблюдал постоянство угла смачивания жидкостью поверхности твердого тела (краевого угла) и нашел количественное соотношение, связывающее краевой угол с коэффициентами поверхностного натяжения соответствующих межфазных границ. В равновесии контактная линия не должна двигаться по поверхности твердого тела, а значит, говорил
где sSV, sSL, sLV - коэффициенты поверхностного натяжения межфазных границ твердое тело – газ (пар), твердое тело – жидкость, жидкость – газ соответственно, q - краевой угол. Это соотношение теперь известно как формула Юнга. Эта работа все же не оказала такого влияния на развитие науки в этом направлении, какое оказала вышедшая несколькими месяцами позже статья Лапласа (Pierre Simon Laplace). Это, по-видимому, связано с тем, что Юнг избегал использования математических обозначений, а пытался описывать все словесно, отчего его работа кажется запутанной и неясной. Тем не менее он считается сегодня одним из основателей количественной теории капиллярности.
Явления когезии и адгезии, конденсация пара в жидкость, смачивание твердых тел жидкостями и многие другие простые свойства вещества - все указывало на наличие сил притяжения, во много раз более сильных, чем гравитация, но действующих только на очень малых расстояниях между молекулами. Как говорил Лаплас, единственное вытекающее из наблюдаемых явлений условие, налагаемое на эти силы, состоит в том, что они «неощутимы на ощутимых расстояниях».
Силы отталкивания создавали больше хлопот. Их наличие нельзя было отрицать - они должны уравновешивать силы притяжения и препятствовать полному разрушению вещества, но их природа была совершенно неясной. Вопрос осложнялся двумя следующими ошибочными мнениями. Во-первых, часто считалось, что действующей силой отталкивания является тепло (как правило, мнение сторонников теории теплорода), поскольку (такова была аргументация) жидкость при нагревании сначала расширяется и затем кипит, так что молекулы разъединяются на гораздо большие расстояния, чем в твердом теле. Второе ошибочное мнение возникло из уводящего назад к Ньютону представления, согласно которому наблюдаемое давление газа происходит вследствие статического отталкивания между молекулами, а не из-за их столкновений со стенками сосуда, как тщетно доказывал Даниель Бернулли.
На этом фоне было естественно, что первые попытки объяснить капиллярность или вообще сцепление жидкостей основывались на статических аспектах вещества. Механика была хорошо понимаемой теоретической ветвью науки; термодинамика и кинетическая теория были еще в будущем. В механическом рассмотрении ключевым было предположение о больших, но короткодействующих силах притяжения. Покоящиеся жидкости (в капиллярной ли трубке или вне ее) находятся, очевидно, в равновесии, а потому эти силы притяжения должны уравновешиваться силами отталкивания. Поскольку о них можно было сказать еще меньше, чем о силах притяжения, их часто обходили молчанием, и, говоря словами Рэлея, «силам притяжения предоставлялось исполнять немыслимый трюк уравновешивания самих себя». Лаплас первым удовлетворительно разрешил эту проблему , полагая, что силы отталкивания (тепловые, как он допускал) можно заменить внутренним давлением, которое действует повсеместно в несжимаемой жидкости. (Это предположение приводит временами к неопределенности в работах XIX в. в отношении того, что строго понимается под «давлением в жидкости».) Приведем расчет внутреннего давления по Лапласу. (Этот вывод ближе к выводам Максвелла и Рэлея . Вывод приводится по .)
Оно должно уравновешивать силы сцепления в жидкости, и Лаплас отождествлял это с силой на единицу площади, которая оказывает сопротивление разделению бесконечного жидкого тела на два далеко разъединяемых полубесконечных тела, ограниченных плоскими поверхностями. Приведенный ниже вывод ближе к выводам Максвелла и Рэлея, чем к оригинальной форме Лапласа, но существенного различия в аргументации нет.
Рассмотрим два полубесконечных тела жидкости со строго плоскими поверхностями, разделенные прослойкой (толщины l) пара с пренебрежимо малой плотностью (рис. 1), и в каждом из них выделим элемент объема. Первый находится в верхнем теле на высоте r над плоской поверхностью нижнего тела; его объем равен dxdydz. Второй находится в нижнем теле и имеет объем 
, где начало полярных координат совпадает с положением первого элементарного объема. Пусть f(s) - сила, действующая между двумя молекулами, разделенными расстоянием s, а d - радиус ее действия. Поскольку это всегда сила притяжения, имеем
Если r - плотность числа молекул в обоих телах, то вертикальная составляющая силы взаимодействия двух элементов объема равна
Приведенный выше вывод основан на неявном допущении, что молекулы распределены равномерно с плотностью r, т.е. жидкость не обладает различимой структурой в шкале размеров, соизмеримых с радиусом действия сил d. Без этого предположения нельзя было бы написать выражения (2) и (3) в такой простой форме, а надо было бы выяснить, как присутствие молекулы в первом элементе объема влияет на вероятность наличия молекулы во втором.
