Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения плоского движения : x A = f 1 (t), y A = f 2 (t), j = f 3 (t), точка А назыв. полюсом. Плоское движение тв.тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного движения вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят.
Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.
Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.
Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.
При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.
Если в теле провести некоторую прямую О 1 О 2 , перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.
Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.
Уравнения плоского движения твердого тела
Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.
Положение отрезка АВ, относительно системы координат определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления. Например, координаты точки А () и направление, заданное углом .
Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат имеют вид: .
Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы.
называются уравнениями плоского движения твердого тела .
|
Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:
, (6-1)
где - длина отрезка ОМ, - постоянный угол между ОМ и осью . С учетом выражений и получаем
, (6-2)
Формулы (6-2) являются уравнениями движения точки М плоской фигуры относительно координат . Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.
Используя матрично-векторные обозначения уравнения (6-2) можно записать в такой форме:
, (6-3)
где А – матрица поворота на плоскости:
, , , .
Разложение плоского движения на поступательное
И вращательное движения.
Теорема . Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное.
В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.
Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.
Рассмотрим два любых положения плоской фигуры 1 и 2. Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1" и вращательного из 1" в 2 вокруг точки A", называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!
Вопросы по кинематике
Введение в кинематику
1. Что изучает кинематика?
2. Тело отсчета, система координат, система отсчета.
3. Пространство и время в кинематике.
4. Какими свойствами наделяется кинематическая точка?
5. Задачи кинематики.
I. Кинематика точки
1. Что означает «задать движение»? Перечислите способы задания движения.
2. Векторный способ задания движения точки.
3. Траектория точки, понятие о прямолинейном и криволинейном движениях точки.
4. Вектор скорости точки, вектор ускорения точки при векторном способе задания движения. Вектор скорости точки как производная от радиус-вектора точки. Вектор ускорения точки как первая производная от вектора скорости точки. Единицы измерения модулей вектора скорости и вектора ускорения.
5. Как направлены вектор скорости и вектор ускорения точки по отношению к траектории при векторном способе задания движения? Понятие об ускоренном и замедленном движениях.
6. Координатный способ задания движения точки.
7. Траектория точки, проекции вектора скорости и вектора ускорения точки при координатном способе задания движения точки.
8. Определение модуля вектора скорости и модуля вектора ускорения по их проекциям.
9. Связь между векторным и координатным способами задания движения.
10. Естественный способ задания движения точки. Естественные оси. Кривизна и радиус кривизны траектории (элементарные сведения из геометрии пространственной кривой).
11. Определение алгебраической скорости точки при задании ее движения естественным способом. Как по знаку алгебраической скорости можно судить о направлении движения точки по траектории?
12. Разложение вектора ускорения на касательную и нормальную составляющие. Формулы для определения алгебраических величин касательного и нормального ускорений.
13. Определение модуля вектора ускорения точки (полного ускорения точки) по известным величинам касательного и нормального ускорений точки.
14. Простейшие законы движения точки по траектории при естественном способе задания движении.
II. Поступательное движения твердого тела и вращение твердого тела относительно неподвижной оси
1. Поступательное движение твердого тела, определение. Основная теорема поступательного движения тела.
2. Как задается закон поступательного движения твердого тела.
3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси.
3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела как алгебраические величины. Единицы измерения угловой скорости и углового ускорения.
4. Закон (уравнение) равномерного вращательного движение тела. Закон (уравнение) равнопеременного вращения тела вокруг неподвижной оси.
7. Величины касательного, нормального и полного ускорения точки тела, вращающего вокруг неподвижной оси.
8. Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторы. Как направлены эти векторы по отношению друг к другу при ускоренном и замедленном вращениях тела?
9. Выражение вектора скорости точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в виде векторного произведения.
10. Выражения векторов касательного и нормального ускорений точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в виде векторных произведений.
III. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
1. Определение плоского движения твердого тела.
2. Закон движения (уравнения) плоского движения твердого тела.
2. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движения анализируя уравнения плоского движения.
3. Теорема о геометрическом сложении векторов скоростей точек плоской фигуры. Метод проекций.
4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.
5. Понятие о мгновенном центре скоростей плоской фигуры. Определение положения мгновенного центра скоростей в общем случае.
6. Определение скоростей точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей.
7. Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.
8. Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений точек плоской фигуры. Метод проекций.
VI. Сложное движение точки
1. Сложное движение точки - определение. Относительное движение точки, относительная траектория, относительные скорость и ускорение точки.
2. Переносное движение точки. Переносные скорость и ускорение точки.
3. Абсолютное движение точки, абсолютные траектория, абсолютные скорость и ускорение точки.
4. Теорема о сложении векторов скоростей в абсолютном движении точки. Метод проекций.
5. Теорема о сложении векторов ускорений в сложном движении точки (теорема Кориолиса). Метод проекций.
6. Величина и направление вектора Кориолисового ускорения.
7. Частные случаи, в которых ускорения Кориолиса равно нулю.
8. Физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса.
Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.
Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.
Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.
Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.
Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.
До сих пор при изучении движения точки (отдельной точки, точки тела) мы всегда предполагали, что система координат Oxyz, относительно которой рассматривается движение, является неподвижной. Теперь рассмотрим случай, когда система координат Oxyz также движется, так что движутся как точка М, так и система координат Oxyz - по отношению к другой системе координат являющейся неподвижной (рис. 111). Этот случай, когда движение точки М рассматривается одновременно в двух системах координат - подвижной и неподвижной, называется сложным движением точки.
Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением. Ее скорость и ускорение по отношению к неподвижным осям называются соответственно абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.
Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением.
Скорость и ускорение точки по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью (обозначается ) и относительным ускорением . Индекс - от латинского слова relativus (относительный).
Движение подвижной системы координат вместе с неизменно связанными с ней геометрическими точками относительно неподвижной системы координат называется переносным движением. Переносной скоростью и переносным ускорением точки М называются скорость и ускорение относительно неподвижной системы координат точки М, неизменно связанной с подвижными осями, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка М. Индекс e - от латинского enteiner (увлекать с собой).
Понятия переносной скорости и переносного ускорения являются более тонкими. Приведем следующее дополнительное пояснение. В процессе относительного движения точка М оказывается в различных местах (точках) подвижной системы координат.
Обозначим М ту точку подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка М Точка М движется вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы с некоторой скоростью и ускорением . Эти величины и служат переносной скоростью и переносным ускорением точки М:
Сделаем еще два замечания.
1. Подвижные и неподвижные координатные оси, фигурирующие в постановке задачи о сложном движении, нужны лишь для общности постановки задачи. На практике роль систем координат выполняют конкретные тела и предметы - подвижные и неподвижные.
2. Переносное движение или, что то же самое, движение подвижных осей относительно неподвижных, сводится к одному из движений твердого тела - поступательному, вращательному и т.д. Поэтому при вычислении переносной скорости и переносного ускорения следует пользоваться соответствующими правилами, установленными для различных видов движения тела.
Скорости и ускорения в сложном движении связаны строгими математическими зависимостями - теоремой сложения скоростей и теоремой сложения ускорений.
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемешаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П.
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью O xy , параллельной плоскости П . При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ / , перпендикулярны к сечению (S) , то есть к плоскости П движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости O xy .
(4.1) |
Уравнения (4.1) определяют закон происходящего движения и называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Покажем, что плоское движение слагается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение S движущегося тела в моменты времени t 1 и t 2 = t 1 + Δt . Легко видеть, что сечение S , а с ним и все тело можно привести из положения I в положение II следующим образом: переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А , двигаясь вдоль своей траектории, пришел в положение А 2 . При этом отрезок A 1 B 1 займет положение, а затем повернем сечение вокруг полюса А 2 на угол Δφ 1 .
Следовательно, плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же как полюс А и из вращательного движения вокруг этого полюса.
При этом следует отметить, что вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А . Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса А .
Поступательная часть плоскопараллельного движения описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (2. 1), а вращение вокруг полюса А - третьим из уравнений (2. 1).
Основные кинематические характеристики плоского движения
В качестве полюса можно выбирать любую точку тела
Вывод : вращательная составляющая плоского движения от выбора полюса не зависит, следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение e являются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры
Векторы и направлены по оси, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости фигуры
Трехмерное изображение
Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.
При доказательстве будем исходить из того, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью v А и из вращательного движения вокруг этого полюса. Чтобы разделить эти два вида движения, введем две системы отсчета: Oxy – неподвижную, и Ox 1 y 1 – движущуюся поступательно вместе с полюсом А. Относительно подвижной системы отсчета движение точки М будет «вращательным вокруг полюса А ».
Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращательном движении вместе с телом вокруг этого полюса.
Геометрическая интерпретация теоремы
Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.
|
Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела. |