Рассмотрим примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде: y’+y/x=3x. Здесь p(x)=1/x, q(x)=3x.
1) Введем замену y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Отсюда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения для y и y’ в условие: u’v+v’u+uv/x=3x.
2) Сгруппируем слагаемые, содержащие v: v+v’u=3x. (I) Теперь потребуем равенства нулю выражения в скобках: u’+u/x=0. Получили новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Подставляем u’=du/dx и разделяем переменные: du/dx= — u/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на u≠0. Пришли к уравнению с разделенными переменными: du/u= — dx/x. Интегрируем его:
Поскольку при нахождении u С берем равным нулю, то получаем, что ln│u│=-ln│x│, используем свойство логарифма: ln│u│= ln│1/x│отсюда u=1/x.
3) В уравнение (I) подставляем =0 и u=1/x. Имеем: v’/x=3x. Умножаем обе части полученного уравнения на x≠0: v’=3x². Можно представить v’=dv/dx и разделить переменные: dv/dx=3x², отсюда, умножив обе части на dx, получаем dv=3x²dx, интегрируем:
здесь С уже не игнорируем, и приходим к v=x³+C. (А можно было просто проинтегрировать обе части равенства: v’=3x²
и сразу получить ответ v=x³+C).
4) Так как y=uv, подставив найденные выражения для u и v, получаем: y=(x³+C)/x. Если преобразовать ответ, получим: y=x²+C/x.
Ответ: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Линейное уравнение в стандартном виде. p(x)=1, q(x)=cosx.
1) y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:
u’v+v’u+uv=cosx. Группируем слагаемые с v: v+v’u=cosx. (II)
2) Теперь потребуем, чтобы выполнялось условие u’+u=0. Получили уравнение с разделяющимися переменными u и x. Так как u’=du/dx, то du/dx+u=0, откуда du/dx=-u. Умножаем обе части на dx и делим на u≠0: du/u=-dx. Интегрируем уравнение:
3) В уравнение (II) подставляем =0 и
Интегрируем обе части уравнения:
Этот интеграл находится с помощью формулы интегрирования по частям:
4) y=uv, подставляем найденные выражения для u и v:
Рассмотрим еще одно интересное задание.
3) Найти решение уравнения (x+y)y’=1, удовлетворяющее начальному условию y(-1)=0.
Если рассматривать y как функцию от x, то уравнение не получится записать в стандартном виде y’+p(x)y=q(x). А вот если рассматривать x как функцию от y, то с учетом того, что y’=1/x’, получаем: (x+y)·1/x’=1, откуда x’=x+y, теперь переписываем это уравнение в виде x’-x=y. (III)
Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида x’+p(y)=q(y). Здесь p(y)=-1, q(y)=y. Все рассуждения абсолютно аналогичны. Проведем их.
1) Замена x=uv, где u=u(y), v=v(y). Отсюда x’=u’v+v’u. Подставляем в (III): u’v+v’u-uv=y.
2) Группируем слагаемые с v: v+v’u=y. (IV) Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’-u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными. Только не забываем, что вторая переменная здесь y, а не x. С учетом того, что u’=du/dy, разделим переменные: du/dy=u. Умножаем обе части уравнения на dy и делим на u: du/u=dy. Теперь интегрируем:
3) В (IV) подставляем =0 и
Этот интеграл также находим по формуле интегрирования по частям
Подставляем, по формуле интегрирования по частям получаем:
4) Так как x=uv, то, подставив найденные выражения для функций u и v, получаем:
5) В общее решение уравнения
подставляем начальные условия y(-1)=0 (то есть x=-1, y=0):
Отсюда частное решение x=-y-1. Выразив y через x, приходим к окончательному варианту ответа: y=-x-1.
Ответ: y=-x-1.
Задания для самопроверки:
1) y’-y=x. Здесь p(x)=-1, q(x)=x.
1) Вводим замену y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.
2) Группируем слагаемые с v: v+v’u=x (*).
Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’- u=0ю Из этого условия находим u: du/dx=u, du/u=dx. Интегрируем:
3) В равенство (*) подставляем =0 и
Интеграл в правой части уравнения будем искать с помощью формулы интегрирования по частям: u=x, du=x’dx=dx.
Отсюда получаем, что
4) Поскольку y-uv, подставлям:
2) Делим обе части уравнения на x: y’-(2/x)y=x. Здесь p(x)=-2/x, q(x)=x.
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: xu’v+xv’u-2uv=x².
2) Группируем слагаемые с v: v+xv’u=x² (**). Теперь требуем выполнения условия xu’-2u=0. Отсюда x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Интегрируем.
Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?
Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.
Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.
Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.
Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.
Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.
Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.
Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.
Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:
Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.
Примеры таких уравнений:
В общем виде этот тип уравнений выглядит так:
Приведем пример:
Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:
После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.
Такие уравнения имеют вид:
Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:
Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).
Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.
Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.
Сначала перепишем производную в более привычном виде:
Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":
Теперь осталось проинтегрировать обе части:
Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:
Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":
Уравнение первого порядка вида a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) называется линейным дифференциальным уравнением. Если b(x) ≡ 0 то уравнение называется однородным , в противном случае - неоднородным . Для линейного дифференциального уравнения теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y"+y=b(x) .
Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Например, для y"-exp(x)=2*y это будет y"-2*y=exp(x) .Теорема
. Пусть a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a 1 ≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x 0) = y 0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, 
Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме
Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде
Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем 
Интегрируя последнее, имеем
где C 1 - некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.
Пример . Решить уравнение y" + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y" + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C"(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 и y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x - общее решение исходного уравнения. В этом решении y 1 (x) = 2x-1 - движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x -собственное движение объекта.
Пример №2
. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v" = 0
Представим в виде: v" = -3v tg(3x)
Интегирируя, получаем:
ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u v, получаем:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)
