Линейной комбинацией векторов из называется вектор стит при . Ясно, что линейной комбинацией линейных комбинаций векторов является снова линейная комбинация этих векторов.
Совокупность векторов называется линейно независимой, если равенство стит возможно только при . Если же существуют не равные одновременно нулю си такие, что стит - 0, то совокупность векторов называется линейно зависимой. Определения эти совпадают с определениями, данными на стр. 108 в применении к строкам.
Предложение 1. Совокупность векторов линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Предложение 2. Если совокупность векторов линейно независима, а совокупность линейно зависима, то вектор есть линейная комбинация векторов
Предложение 3. Если векторы являются линейными комбинациями векторов , то совокупность линейно зависима.
Доказательства этих предложений ничем не отличаются от доказательств аналогичных предложений для строк (стр. 108-110).
Совокупность векторов называется порождающей, если все векторы пространства являются их линейными комбинациями. Если для пространства S существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерным, в противном случае - бесконечномерным. В конечномерном пространстве не могут существовать сколь угодно большие (по числу векторов) линейно независимые совокупности векторов, ибо, согласно предложению 3, любая совокупность векторов, превосходящая по числу векторов порождающую совокупность, линейно зависима.
Пространство матриц фиксированных размеров и, в частности, пространство строк фиксированной длины конечномерны, в качестве порождающей системы можно взять матрицы с единицей на одной позиции и с нулями на остальных.
Пространство всех полиномов от уже бесконечномерно, ибо совокупность полиномов линейно независима при любом .
В дальнейшем будем рассматривать конечномерные пространства.
Предл ожение 4. Любая минимальная (по числу векторов) порождающая совокупность векторов линейно независима.
Действительно, пусть - минимальная порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из векторов, скажем есть линейная комбинация остальных и всякая линейная комбинация есть линейная комбинация меньшей совокупности векторов которая тем самым оказывается порождающей.
Предложение 5. Любая максимальная (по числу векторов) линейно независимая совокупность векторов является порождающей.
Действительно, пусть - максимальная линейно независимая совокупность и u - любой вектор пространства. Тогда совокупность и не будет линейно независимой, и, в силу предложения 2, вектор и есть линейная комбинация
Предложение 6. Любая линейно независимая порождающая совокупность является минимальной среди порождающих и максимальной среди линейно независимых.
Действительно, пусть - линейно независимая порождающая совокупность векторов. Если - какая-то другая порождающая совокупность, то являются линейными комбинациями и отсюда заключаем, что , ибо если было бы то, в силу предложения была бы линейно зависимой совокупностью. Пусть теперь - какая-либо линейно независимая совокупность. Векторы являются линейными комбинациями векторов и, следовательно, ибо при в силу того же предложения составляли бы линейно зависимую совокупность.
Таким образом, в предложениях 4, 5, 6 устанавливается тождественность трех понятий - минимальная порождающая совокупность векторов, максимальная линейно независимая совокупность векторов и линейно независимая порождающая совокупность.
Совокупность векторов, удовлетворяющая этим условиям, называется базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства. Размерность пространства S обозначается . Таким образом, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов (мы часто в дальнейшем будем говорить слова «линейно независимые» и «линейно зависимые векторы» вместо того, чтобы сказать «векторы, составляющие линейно зависимую совокупность» и - соответственно для линейно независимой совокупности) и минимальному числу порождающих векторов.
Предложение 7. Пусть - линейно независимая совокупность векторов, причем их число меньше размерности пространства. Тогда к ним можно присоединить вектор так, что совокупность останется линейно независимой.
Доказательство. Рассмотрим множество линейных комбинаций . Оно не исчерпывает всего пространства, ибо не составляют порождающую совокупность векторов. Возьмем вектор, не являющийся линейной комбинацией
Тогда - линейно независимая совокупность, так как иначе был бы линейной комбинацией векторов в силу предложения 2.
Из предложения 7 следует, что любую линейно независимую совокупность векторов можно дополнить до базиса.
Это же предложение и его доказательство указывают на характер произвола в выборе базиса. Действительно, если взять произвольной ненулевой вектор, то его можно достраивать до базиса, взяв второй вектор как угодно, только не линейную комбинацию первого, третий как угодно, только не линейную комбинацию первых двух, и т. д.
К базису можно «спуститься», исходя из произвольной порождающей совокупности.
Предложение 8. Любая порождающая совокупность векторов содержит базис.
Действительно, пусть - порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из ее векторов есть линейная комбинация остальных, и его можно исключить из порождающей совокупности. Если оставшиеся векторы линейно зависимы, то можно исключить еще один вектор, и т. д., до тех пор пока не останется линейно независимая порождающая совокупность, т. е. базис.
Лекция 6.
Векторы …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , … , среди которых по крайней мере одно, не равное нулю, такие, что
Сумма произведений чисел на векторы , т.е. вектор
называется линейной комбинацией векторов .
Если вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , то говорят также, что вектор разложен по векторам .
Данное выше определение линейной зависимости векторов , эквивалентно такому: векторы линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).
Теорема 1. Для того чтобы два вектора и были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Доказательство необходимости. Дано: векторы и линейно зависимы. Требуется доказать, что они коллинеарны. Так как векторы и линейно зависимы, то существуют числа и , не равные нулю одновременно, и такие, что
Пусть, например, ; тогда
отсюда следует, что векторы и коллинеарны.
Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы.
Если , то имеет место равенство , а это означает, что векторы и линейно зависимы .
Если же , то полагая , находим , или ; значит векторы и линейно зависимы.
Три вектора называются компланарными, если, будучи отложены от одной точки, оказываются лежащими в одной плоскости.
Теорема 2. Для того, чтобы три вектора , , были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Дано: векторы , , линейно зависимы. Требуются доказать, что они компланарны.
Так как векторы , , линейно зависимы, то существуют числа , , , среди которых есть хотя бы одно ; такие, что
Пусть, например, ; тогда
Векторы и коллинеарны соответственно векторам и ; поэтому сумма таких векторов, т.е. вектор будет компланарен с векторами и .
Доказательство достаточности. Дано: векторы , , компланарны. Требуется доказать, что эти векторы линейно зависимы.
Если векторы и коллинеарны, то они линейно зависимы (теорема 1 настоящего параграфа), т.е. найдутся числа и , из которых по крайней мере одно не равно нулю и такие, что , но тогда и , т.е. векторы , , линейно зависимы.
Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим векторы , и от одной и той же точки О :
Так как векторы , , компланарны, то точки О , лежат в одной плоскости. Спроектируем точку на прямую параллельно прямой ; пусть Р – эта проекция. Тогда и так как
то, полагая
то есть векторы , , - линейно зависимы.
Теорема 3. Всякие четыре вектора , , , в пространстве линейно зависимы.
Доказательство. Предложим, то векторы , , некомпланарны. Отложим все векторы , , , от одной и той же точки О :
Пусть Р – проекция точки на плоскость параллельно прямой , а - проекция точки Р на прямую параллельно прямой . Тогда .
Векторы соответственно коллинеарны векторам , и . Полагая ; ; получим ; ;
и, следовательно:
т.е. векторы , , , линейно зависимы.
Теорема 4. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.
Докажем теорему для случая, когда векторы заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве.
Доказательство необходимости. Дано: векторы ; и коллинеарны. Требуется доказать, что их координаты пропорциональны.
Так как , то полагая , получим , т.е.
Доказательство достаточности. Дано: координаты векторов
пропорциональны. Требуется доказать, что эти векторы коллинеарны.
Пусть ; то есть , или , и, значит, векторы и коллинеарны.
Теорема 5. Для того, чтобы два вектора и , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат на плоскости
или относительно общей декартовой системы координат в пространстве
были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы
(в случае плоскости),
(в случае пространства).
Докажем теорему для случая, когда векторы и заданы своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве.
Доказательство необходимости. Дано: векторы и коллинеарны. Требуется доказать, что выполнены соотношения
Если векторы и ненулевые и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, а потому эти равенства выполнены (определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю). Если или (или ==0), то это равенство очевидно.
Доказательство достаточности. Дано, что эти соотношения выполнены. Требуется доказать, что векторы и коллинеарны.
Если (т.е. =0), то векторы и коллинеарны (т.к. нулевой вектор коллинеарен любому вектору). Пусть хотя бы одно из чисел не равно нулю, например . Положим ; тогда и из соотношения или (раскрывая определитель) , находим, , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда выполнены соотношения
Следствие 3. Точки , , , , заданные своими координатами относительно общей декартовой системы координат в пространстве, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы ; ; компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда .
Понятие вектора
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок (или, что то же, упорядоченная пара точек).
Обозначают: (точка А-начало вектора), точка В – конец вектора) или одной буквой -.
Определение 2. Длиной вектора (модулем) называется расстояние между началом и концом вектора. Длина вектора обозначаетсяили.
Определение 3. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Обозначают:
Определение 4. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектораи обозначается символом.
Определение 5. Векторы называютсяколлинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Определение 6. Векторы называютсяравными , если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковое направление.
Линейные операции над векторами
Определение 7. Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.
Определение 8. Суммой двух векторови называется вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора(правило треугольника). В случае неколлинеарных векторовиможно вместо правила треугольника использовать правило параллелограмма: если векторыиотложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то суммаесть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из общего началаи.
Определение 9. Разностью двух векторов иназывается вектор, который в сумме с векторомсоставляет вектор. Если два вектораиотложены от общего начала, то их разность есть вектор, исходящий из конца вектора(«вычитаемого») к концу вектора(«уменьшаемого»).
Определение 10. Два коллинеарных вектора равной длины, направленные в противоположные стороны, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору, обозначается.
Произведение вектора на числообозначают α.
Некоторые свойства линейных операций
7)
;
Теорема 1. (О коллинеарных векторах). Еслии– два коллинеарных вектора, причем вектор-ненулевой, то существует единственное число х такое, что=х
В частности, ненулевой вектор и его ортсвязаны равенством:=·.
Сформулированные свойства линейных операций позволяют преобразовать выражения, составленные из векторов, по обычным правилам алгебры: можно раскрыть скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т.д.
Пример 1.
Доказать равенства:
и выяснить, каков их геометрический смысл.
Решение. а) В левой части равенства раскроем скобки, приведем подобные члены, получим вектор в правой части. Поясним это равенство геометрически. Пусть даны два вектораи, отложим их от общего начала и посмотрим параллелограмм и его диагонали, получим:
Векторный базис на плоскости и в пространстве.
Определение 1. Линейной комбинацией векторов , ,называется сумма произведений этих векторов на какие-нибудь числа,,:++.
Определение 2. Векторным базисом в данной плоскости называется любая пара неколлинеарных векторовиэтой плоскости.
Вектор называют при этом первым базисным вектором, вектор-вторым.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если базис,– векторный базис в плоскости, тогда любой векторэтой плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов:= х+у. (*)
Определение 3. Равенство(*) называют, а числа х и у –координатами вектора в базисе, (илиотносительно базиса , ). Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко:={x,y}. Из определения координат вектора относительно базиса следует, что равные векторы имеют соответственно равные координаты.
Два и более векторов в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в этой плоскости.
Определение 4. Векторным базисом в пространстве называют любые три вектора, ,.
Вектор называют при этом первым базисным вектором,- вторым,-третьим.
Замечание. 1. Три вектора= {},= {} и= {} образуют базис пространства, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:
.
2. Основные положения теории определителей и способы их вычисления рассмотрены в модуле 1 «линейная алгебра».
Теорема 2. Пусть, ,- векторный базис в пространстве. Тогда любой векторв пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов, и:
Х+у+z. (**)
Определение 5. Равенство (**) называютразложением вектора по базису, ,, а числаx,y,z–координатами (компонентами) векторав базисе, ,.
Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: = {x,y,z}.
Определение 6. Базис, ,называетсяортонормированным, если векторы, ,попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения,,.
Действия над векторами, заданными своими координатами.
Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис, и относительно его векторыизаданы своими координатами:= {},= {}.
Тогда
={},={
},
т.е. при сложении или вычитании векторов
складываются или вычитаются их одноименные
координаты;= {·;},
т.е. при умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число.
Условие коллинеарности двух векторов
Теорема 4. Векторколлинеарен ненулевому векторув том и только том случае, когда координаты векторапропорциональны соответственным координатам векторат.е.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в пространстве, производятся аналогично.
Пример 1. Пусть даны векторы= {1;2;-1} ,= {3;2;1}, = {1;0;1} в некотором векторном базисе, ,. Найти координаты линейной комбинации 2+3-4.
Решение. Введем обозначение для линейной комбинации=2+3+(-4).
Коэффициенты линейной комбинации =2,=3,=-4. Запишем данное векторное равенство в координатной форме= {x,y,z}=:
2
Очевидно, что каждая координата линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации одноименных координат, т.е.
х = 2·1+3·3+(-4)·1=7,
у = 2·2+3·2+(-4)·0=10,
z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.
Координаты вектора в базисе , ,будут:
Ответ: = {7,10,-3}.
Общая (аффинная) декартова система координат
Определение 7. Пусть О- некоторая фиксированная точка, которую будем называтьначалом.
Если М- произвольная точка, то вектор называетсярадиус-вектором точки М по отношению к началу, коротко, радиус-вектор точки М.
Декартовы (аффинные) координаты на прямой
Пусть дана в пространстве некоторая прямая l . Выберем начало О лежащим на этой прямой. Кроме того, выберем на прямойl ненулевой вектор, который будем называть базисным.
Определение 8. Пусть точка М лежит на прямойl. Так как векторыиколлинеарны, то=х, где х- некоторое число. Это число назовемкоординатой точки М на прямой.
Начало О имеет положительные или отрицательные координаты, в зависимости от того, совпадают ли направления векторов иили они противоположны. Прямуюl, на которой координаты, будем называть осью координат или осью ОХ.
Введение координат на прямой соответствует единственное число х, и наоборот, существует единственная точка М, для которой это число является координатой.
Декартовы (аффинные) координаты на плоскости.
Выберем на плоскости О два неколлинеарных вектора и, образующих некоторый базис. Очевидно, что длины векторовимогут быть различны.
Определение 9. Совокупность {0;;} точки О и векторного базиса, называют декартовой (аффинной) системой на плоскости.
Две прямые, проходящие через О и параллельные соответственно векторам , называют осями координат. Первую из них обычно называют осью абсцисс и обозначают Ох, вторую- осью ординат и обозначают Оу.
Будем всегда изображать илежащими на соответствующих осях координат.
Определение 10. Координатами точки М на плоскости относительно декартовой (аффинной) системы координат {0;;} называют координаты ее радиус-векторапо базису,:
Х+у, тогда числа х и у будет координатами М относительно декартовой(аффинной) системы координат {0;;}. Координату х называютабсциссой точки М, координату у-ординатой точки М.
Итак, если выбрана система координат, {0;;} на плоскости, то каждой точке М плоскости соответствует единственная точка М на плоскости: эта точка является концом вектора
Введение системы координат лежит в основе метода аналитической геометрии, сущность которой состоит в том, чтобы уметь сводить любую геометрическую задачу к задачам арифметики или алгебры.
Определение 11. Координатами вектора на плоскости относительно декартовой системы координат {0;;} называют координаты этого вектора в базисе,.
Чтобы найти координаты вектора , надо разложить его по базису ,:
Х+у, где коэффициенты х,у и будут координатами вектора относительно декартовой системы {0;;}.
Декартова (аффинная) система координат в пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка О(начало) и выбран векторный базис
Определение 12. Совокупность {0;;;}называютдекартовой системой координат в пространстве.
Определение 13. Три прямые проходящие через О и параллельные соответственно векторам, ,, называютосями координат и обозначают соответственно Оz,Oy,Oz.Мы будем всегда изображать векторы, ,лежащими на соответственных осях.
Определение 14. Координатами точки М в пространстве относительно декартовой системы координат {0;;;} называют координаты ее радиус-векторав этой системе.
Иначе говоря, координаты точки М – это такие три числа х,у,zсоответственно абсцисса и ордината точки М; третью координатуzназывают аппликатой точки М.
Введение в пространстве декартовой системы координат позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками М пространства и упорядоченными тройками чисел x,y,z.
Определение 15. Координатами вектора в пространстве относительно декартовой системы координат {0;;;}называют координаты этого вектора в базисе;;.
Пример 2.
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-2;1),В(1;3),С(4;0). Найти четвертую его координату D. Система координат аффинная.
Решение.
Векторы иравны, значит, равны их координаты (коэффициенты линейной комбинации):
=
{3;2},
={4-x;-y};
.
Значит,D(1;-2).
Ответ: D(1;-2).
Линейная зависимость. Понятие базиса
Определение 16. Векторы , называют линейно зависимыми, если существуют числа ,
Это определение линейной зависимости векторов ,эквивалентно такому: векторы,линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).
Векторы ,называются линейно зависимыми, если равенство (***) возможно в единственном случае, когда
Понятие линейной зависимости играет большую роль в линейной алгебре. В векторной алгебре линейная зависимость имеет простой геометрический смысл.
Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.
Три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.
Каждые четыре вектора линейно зависимы.
Определение 17. Три линейно независимых вектора называютсябазисом пространства, т.е. любой векторможет быть представлен в виде некоторой.
Определение 18. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора называютбазисом плоскости, т.е. любой лежащий в этой плоскости вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов.
Задания для самостоятельного решения.
векторы найти в этом базисе координаты.
ВЕКТОРЫ
Векторами называются математические объекты (a , b , c , …), для которых определено выполнение двух алгебраических операций:
· сложение двух векторов a + b = c
· умножение вектора на число a а = b .
Наиболее существенной особенностью этих операций является то, что в результате их выполнения всегда получается вектор того же типа, что и исходные векторы. Поэтому, имея некоторый исходный набор векторов, мы можем постепенно расширять его, т.е. получать все новые и новые векторы, применяя к уже имеющимся векторам операции сложения и умножения на число. В конце концов мы придем к такому множеству векторов, которое уже больше не будет расширяться, т.е. окажется замкнутым относительно указанных операций. Такое множество векторов называется векторным пространством .
Если при выполнении указанных операций выполняются дополнительные условия линейности :
a(a + b )= aa + ab
(a + b)a = aa + bb
то получающееся пространство называется линейным пространством (ЛП) или линейным векторным пространством (ЛВП). ЛВП может, наряду с группами симметрии, служить еще одним примером математических структур, представляющих собой замкнутые множества однотипных и упорядоченных определенным образом (с помощью алгебраических операций) объектов.
Линейные комбинации
Располагая операциями сложения векторов и умножения их на числа, можно построить и более сложную конструкцию типа:
aa + bb + gc + ..... = x
которая называется линейной комбинацией (ЛК) векторов a, b, c, . . . c коэффициентами a, b, g,. . . , соответственно.
Понятие ЛК позволяет сформулировать несколько общих правил:
· всякая ЛК любых векторов некоторого ЛП также является вектором того же самого ЛП;
· любой вектор некоторого ЛП может быть представлен в виде ЛК нескольких векторов того же самого ЛП;
· в любом ЛП существует такой выделенный набор векторов, называемый базисным набором (или просто базисом ), что все, без исключения, векторы этого ЛП могут быть представлены как линейные комбинации этих выделенных базисных векторов. На векторы, выбираемые в качестве базисных, накладывается одно важное условие: они должны быть линейно независимы между собой (не должны выражаться друг через друга, т.е.: x ≠ a × y ).
Эти правила дают возможность ввести специальный способ описания любого ЛП. Выберем базисный набор и разложим все интересующие нас векторы по этому базису (т.е. представим их в виде ЛК базисных векторов); тогда каждый вектор можно однозначно задать посредством набора коэффициентов ЛК, соответствующей данному вектору. Такие коэффициенты называются координатами вектора (по отношению к заданному базису). Подчеркнем, что координаты вектора - это обыкновенные числа, и координатное представление вектора позволяет описать его посредством только совокупности чисел, независимо от конкретного физического смысла, вкладываемого нами в понятие вектора.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас имеется набор различных смесей двух чистых химических веществ: воды и спирта. Среди всех возможных смесей выделим две особых:
1) смесь S 1 , содержащая 100 % воды и 0 % спирта;
2) смесь S 2 , содержащая 0 % воды и 100 % спирта.
Ясно, что произвольную смесь можно представить в виде ЛК этих двух базисных смесей:
S = n 1 * S 1 + n 2 * S 2
и полностью охарактеризовать ее всего двумя числами-координатами: n 1 и n 2 . Другими словами, при заданном базисном наборе, мы можем установить эквивалентность произвольной химической смеси и набора чисел:
S ~ {n 1 , n 2 }.
Теперь достаточно заменить конкретное химическое слово "смесь" на абстрактный математический термин "вектор", чтобы получить модель ЛВП, описывающую множество смесей двух веществ.
В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей
Второй вариант предполагает ориентацию на один критерий. В качестве его может либо выбираться один из стандартных показателей , имеющих вполне понятную экономическую интерпретацию (например, один из коэффициентов ликвидности , коэффициент обеспеченности процентов и т.п.), либо этот критерий разрабатывается в виде некоторого искусственного показателя, обобщающего частные критерии. Для этого обобщенного критерия устанавливается пороговое значение, с которым и делается сравнение фактического значения критерия, рассчитанного для потенциального заемщика. Основная трудность в реализации этого подхода заключается в способе конструирования обобщенного показателя. Чаще всего он представляет собой линейную комбинацию частных критериев, каждый из которых включается в обобщающий показатель с некоторым весовым коэффициентом . Именно такой подход был использован Э. Альтманом при разработке Z-критерия для прогнозирования банкротства.
Строка е называется линейной комбинацией строк е, е- ..., ет матрицы, если
Понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов е, e2 . f ет аналогичны соответствующим понятиям для строк матрицы е, е2,..., ет (11.5).
Как показано в , при ограниченных и выпуклых допустимых множествах (2.14) вектор х% 0, удовлетворяющий ограничению A xk bk, можно представить в виде выпуклой линейной комбинации конечного множества крайних точек
Оптимизационная процедура расчета предельных значений элементов а и их линейных комбинаций в значительной мере лишена указанных недостатков.
Очевидно, что точка (X1, д), полученная линейной комбинацией (А/, д) и (Л.", д"), также является решением системы (4.43), (4.44).
В этом параграфе мы рассмотрим правила вычисления математического ожидания и дисперсии многомерной случайной величины , являющейся линейной комбинацией коррелированных случайных величин
Следовательно, для линейной комбинации произвольного количества случайных величин получаем
Рассмотрим случай, когда инвестирование проводится в несколько активов (портфель). Портфель является линейной комбинацией активов, каждый из которых имеет собственное математическое ожидание дохода и дисперсию дохода.
В отличие от произвольной линейной комбинации случайных величин , веса активов подчиняются правилу нормирования
В предыдущем параграфе было показано, что в случае, когда коэффициент корреляции между активами меньше 1, диверсификация портфеля может улучшить соотношение между ожидаемым доходом и ожидаемым риском. Это связано с тем, что ожидаемый доход портфеля является линейной комбинацией ожидаемых доходов по входящим в портфель активам, а дисперсия портфеля является квадратичной функцией от с.к.о. входящих в портфель активов.
Поскольку дискриминантная функция зависит лишь от линейной комбинации входов, нейрон является линейным дискриминатором. В некоторых простейших ситуациях линейный дискриминатор - наилучший из возможных, а именно - в случае когда вероятности принадлежности входных векторов к классу k задаются гауссовыми распределениями
Точнее - выходы сети Ойа являются линейными комбинациями первых Ш главных компонент . Чтобы получить в точности сами главные компоненты достаточно в правиле Ойа заменить суммирование по всем выходам на
Векторы b, кроме того, образуют так называемый минимальный базис. А именно, это минимальное число векторов, с помощью линейной комбинации которых могут быть представлены все запоминаемые векторы
Следующая систематическая процедура способна итеративно выделять наиболее значимые признаки, являющиеся линейными комбинациями входных переменных X = W X (подмножества входов является частным случаем линейной комбинации, т.е. формально можно найти лучшее решение, чем то, что доступно путем отбора наиболее значимых комбинаций входов).
В ходе анализа для характеристики различных аспектов финансовогс состояния применяются как. абсолютные показатели , так и финансовые коэффициенты , представляющие собой относительные показатели финансового состояния . Последние рассчитываются в виде отношений абсолютных показателей финансового состояния или их линейных комбинаций. Согласно классификации одного из основателей балансоведени Н.А.Блатова, относительные показатели финансового состояния подразделяются на коэффициенты распределения и применяются в тех случаях, когда требуется определить, какую часть тот или иной
